THU_BFA: 泛函分析基础：学习指导和习题详解

本项目是清华大学研究生课程“基础泛函分析”的非官方学习指导和习题详解，主要参考教材为《泛函分析基础》（步尚全，清华大学出版社）

内容

• 各章主要定义与定理
• 各章后部分习题
• 额外习题

构建

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版权

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度量空间

1. 度量空间的定义及例子

度量 d 为 $X\times X\to \mathbb{R}$ 的函数，满足：

1. 非负性 $\forall x,y\in X,d(x,y)\ge 0$
2. 非退化性 $\forall x,y\in X,d(x,y)=0⟺x=y$
3. 对称性 $\forall x,y\in X,d(x,y)=d(y,x)$
4. 三角不等式 $\forall x,y,z\in X,d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$

度量空间 $(X,d)$ 是一个集合 $X$ 和一个度量 $d$ 的序对

2. 开集和闭集

开球 $B(x_0,r)=\{x\in X\mid d(x,x_0)<r\}$

闭球 $\overline{B}(x_0,r)=\{x\in X\mid d(x,x_0)\le r\}$

球面 $S(x_0,r)=\{x\in X\mid d(x,x_0)=r\}$

内点 $x_0\in X$ 是开集 $U\subset X$ 的内点，如果存在 $r>0$ 使得 $B(x_0,r)\subset U$

内部 $U^{\circ }=\{x\in U\mid x\text{ 是 }U\text{ 的内点}\}$

开集 $U\subset X$ 是开集，如果 $U=U^{\circ }$

闭集 $F\subset X$ 是闭集，如果 $F^c=X\setminus F$ 是开集

开集的性质

1. $\varnothing ,X$ 是开集
2. 任意多个开集的并是开集
3. 有限多个开集的交是开集

闭集的性质

1. $\varnothing ,X$ 是闭集
2. 任意多个闭集的交是闭集
3. 有限多个闭集的并是闭集

聚点 $x_0\in X$ 是集合 $A\subset X$ 的聚点，如果 $\forall r>0,(B(x_0,r)\setminus x_0)\cap A\ne \varnothing$

导集 $A^{\prime }=\{x\in X\mid x\text{ 是 }A\text{ 的聚点}\}$

闭包 $\overline{A}=A\cup A^{\prime }$

$(X,d)$ 是度量空间，$M\subset X$，则 $\overline{M}$ 为闭集，且 $\overline{M}$ 是包含 $M$ 的最小闭集

$(X,d)$ 是度量空间，$M\subset X$，则 $M$ 是闭集 $⟺M=\overline{M}$

连续映射 $T:X_1\to X_2$ 是连续映射，如果 $\forall x_0\in X_1,\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in X_1,d_1(x,x_0)<\delta ⟹d_2(T(x),T(x_0))<\epsilon$

$(X_1,d),(X_2,d)$ 是度量空间，$T:X_1\to X_2$ 是连续映射 $⟺\forall U\subset X_2$ 是开集，$T^{-1}(U)$ 是开集

$(X_1,d),(X_2,d)$ 是度量空间，$T:X_1\to X_2$ 是连续映射 $⟺\forall F\subset X_2$ 是闭集，$T^{-1}(F)$ 是闭集

稠密 $M\subset X$ 是稠密的，如果 $\overline{M}=X$

可分 $X$ 是可分的，如果有至多可数的稠密子集

$(X,d)$ 是可分的，$Y\subset X$，则 $(Y,d\mid \_Y\times Y)$ 是可分的

3. 收敛性、完备性及紧性

收敛 $\{x_n\}$ 在 $X$ 中收敛，若 $\exists x\in X,\underset{n\to \infty }{\lim }d(x_n,x)=0$，记为 $x_n\to x$

$(X,d)$ 为度量空间，$M\subset X$，则

1. $x\in \overline{M}⟺\exists \{x_n\}\subset M,x_n\to x$
2. $M$ 是闭集 $⟺\forall \{x_n\}\subset M,x_n\to x⟹x\in M$

柯西列 $\{x_n\}$ 是柯西列，如果 $\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N},\forall m,n\ge N,d(x_m,x_n)<\epsilon$

完备 $X$ 是完备的，如果 $X$ 中的任意柯西列都收敛

$(X,d)$ 是完备的，$Y\subset X$，$(Y,d{\mid }_{Y\times Y})$ 是完备子空间，则 $Y$ 是闭集

$(X,d)$ 完备，$Y\subset X$，$Y$ 是闭集 $⟺(Y,d{\mid }_{Y\times Y})$ 完备

等价度量 $d_1,d_2$ 是等价度量，如果 $\exists c_1,c_2>0,\forall x,y\in X,c_1{d}_1(x,y)\le d_2(x,y)\le c_2{d}_1(x,y)$

紧度量空间 $X$ 是紧的，如果 $X$ 中的任意序列都有收敛子列

紧集 $M\subset X$ 是紧集，如果 $(M,d{\mid }_{M\times M})$ 是紧度量空间

相对紧集 $M\subset X$ 是相对紧集，如果 $\forall x_n\in M,\exists x_{n_k}\subset M,x_{n_k}\to x\in X$

$ϵ$-网 $N\subset M$ 是 $ϵ$-网，如果 $M\subset \bigcup _{x\in N}B(x,ϵ)$

完全有界集 $M\subset X$ 是完全有界集，如果 $\forall ϵ>0$，都有有限个 $ϵ$-网

度量空间中的紧集必为有界闭集

$(X,d)$ 为紧度量空间，则 $Y\subset X$ 是紧集 $⟺Y$ 是闭集

$(X,d),M\subset X$ 为相对紧集 $⟺\overline{M}$ 是紧集

$(X,d),M\subset X$ 为完全有界集 $⟺M$ 中的任意序列都有柯西子列

$(X,d),M\subset X$，

1. 若 $M$ 为相对紧集，则 $M$ 为完全有界集
2. 若 $(X,d)$ 完备，则 $M$ 为完全有界集 $⟺M$ 为相对紧集
3. $M$ 为紧集 $⟺M$ 完备且 $M$ 为完全有界集

最佳逼近元 $y_0$ 为 $x_0$ 在 $M$ 中的最佳逼近元，如果 $d(x_0,y_0)=\rho (x_0,M)=\underset{y\in M}{\inf }d(x_0,y)$

4. Banach 不动点定理及其应用

压缩映射 $T:X\to X$ 是压缩映射，如果 $\exists 0\le k<1,\forall x_1,x_2\in X,d(T(x_1),T(x_2))\le kd(x_1,x_2)$

Banach 不动点定理 $X$ 是完备度量空间，$T:X\to X$ 是压缩映射，则 $T$ 有唯一的不动点 $x_0$，且 $x_0=\underset{n\to \infty }{\lim }{T}^n(x)$，其中 $T^n(x)=T(T(\cdots T(x)))$

$(X,d)$ 是非空完备度量空间，$T:X\to X$ 是压缩映射，设存在 $m\ge 1$，使得 $T^m$ 为压缩映射，则 $T$ 有唯一的不动点

习题 1.1

求证 $d_1(x,y)=\sqrt{|x-y|}$ 定义了 $\mathbb{R}$ 上的度量。$d_2(x,y)=(x-y{)}^2$ 能定义 $\mathbb{R}$ 上的度量吗？证明你的结论。

解答

根据定义，验证 $d_1$ 是否满足度量的四个条件：

1. 非负性：$d_1(x,y)=\sqrt{|x-y|}\ge 0$
2. 非退化性：$d_1(x,y)=0⟺\sqrt{|x-y|}=0⟺|x-y|=0⟺x=y$
3. 对称性：$d_1(x,y)=\sqrt{|x-y|}=\sqrt{|y-x|}=d_1(y,x)$
4. 三角不等式：$d_1(x,z)=\sqrt{|x-z|}\le \sqrt{|x-y|+|y-z|}\le \sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}=d_1(x,y)+d_1(y,z)$

故 $d_1$ 是度量。

对于 $d_2$，前三个条件都满足，但是不满足三角不等式，例如取 $x=0,y=1,z=2$，则 $d_2(x,z)=4>2=d_2(x,y)+d_2(y,z)$，故 $d_2$ 不是度量。

赋范空间

线性空间和维数

线性空间 $X$ 为 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，若

1. $\forall x,y\in X,x+y=y+x$
2. $\forall x,y,z\in X,(x+y)+z=x+(y+z)$
3. $\exists 0\in X,\forall x\in X,x+0=0+x$
4. $\forall x\in X,\exists -x\in X,x+(-x)=0$
5. $\forall x\in X,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{K},\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$
6. $\forall x\in X,1x=x$
7. $\forall x,y\in X,\alpha \in \mathbb{K},\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$
8. $\forall x,y\in X,\alpha ,\beta \in \mathbb{K},(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$

线性无关 $x_1,x_2,\cdots ,x_n\in X$ 线性无关，若 $\exists {\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\in \mathbb{K},{\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n=0$，则 ${\alpha }_1={\alpha }_2=\cdots ={\alpha }_n=0$

Hamel 基 $M$ 为 $X$ 的 Hamel 基，若 $M$ 为 $X$ 线性无关子集且 $\mathrm{span}(M)=X$

设 $X$ 为线性空间，$X\ne \{0\}$，$M_0$ 为线性无关子集，则一定存在 Hamel 基 $N$ 使得 $M_0\subset N$

赋范空间和 Banach 空间

范数 $\Vert \cdot \Vert :X\to \mathbb{R}$，若

1. 非负性：$\forall x\in X,\Vert x\Vert \ge 0$
2. 非退化性：$\forall x\in X,\Vert x\Vert =0⟺x=0$
3. 齐次性：$\forall x\in X,\forall \alpha \in \mathbb{K},\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert$
4. 三角不等式：$\forall x,y\in X,\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$

赋范空间 序对 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 为赋范空间，其中 $X$ 为线性空间，$\Vert \cdot \Vert$ 为范数

诱导度量 $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$

1. 平移不变性：$\forall x,y,z\in X,d(x+z,y+z)=d(x,y)$
2. 齐次性：$\forall x,y\in X,\forall \alpha \in \mathbb{K},d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)$

Banach 空间 $X$ 为 Banach 空间，若诱导度量使之成为完备空间

线性算子 $T:X\to Y$ 为线性算子，若

1. $\forall x,y\in X,T(x+y)=T(x)+T(y)$
2. $\forall x\in X,\forall \alpha \in \mathbb{K},T(\alpha x)=\alpha T(x)$

等距同构 $T:X\to Y$ 为等距同构，若

1. $T$ 为线性算子，且 $T$ 为双射
2. $\forall x\in X,\Vert T(x){\Vert }_Y=\Vert x{\Vert }_X$

Schauder 基 $\{e_n\}$ 为 $X$ 的 Schauder 基，若 $\forall x\in X,\exists !{\alpha }_n\in \mathbb{K},x=\sum _{n=1}^{\infty }{\alpha }_n{e}_n$

有限维赋范空间

等价范数 $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$ 为等价范数，若 $\exists c_1,c_2>0,\forall x\in X,c_1\Vert x{\Vert }_1\le \Vert x{\Vert }_2\le c_2\Vert x{\Vert }_1$

设 $X$ 为赋范空间，$x_1,x_2,\cdots ,x_n\in X$ 线性无关，则存在常数 $c>0$，使得 $\forall {\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\in \mathbb{K},\Vert {\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n\Vert \ge c(|{\alpha }_1|+|{\alpha }_2|+\cdots +|{\alpha }_n|)$

设 $X$ 为有限维赋范空间，则 $X$ 上的任意两个范数等价，且 $X$ 赋予任意范数均是 Banach 空间

设 $X$ 为赋范空间，$Y$ 为有限维线性子空间，则 $Y$ 必为 Banach 空间，因此总为闭线性子空间

设 $X$ 为有限维赋范空间，则 $M\subset X$ 为紧集 $⟺M$ 为有界闭集

有界线性算子

有界线性算子 $T:X\to Y$ 为有界线性算子，若 $\exists C\ge 0,\forall x\in X,\Vert T(x){\Vert }_Y\le C\Vert x{\Vert }_X$

算子范数 $\Vert T\Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert T(x)\Vert }{\Vert x\Vert }$

设 $X,Y$ 为赋范空间，$T:X\to Y$ 为有界线性算子，则 $\Vert T\Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }\Vert T(x)\Vert =\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert T(x)\Vert$

有界线性算子空间 记 $B(X,Y)$ 为有界线性算子空间

设 $X,Y$ 为赋范空间，$T:X\to Y$ 为线性算子，则下述命题相互等价

1. $T$ 在 $x=0$ 连续
2. $T$ 在某点连续
3. $T$ 为连续映射
4. $T$ 为有界线性算子

设 $X,Y$ 为赋范空间，$T:X\to Y$ 为有界线性算子，则 $T$ 的零空间 $N(T)=\{x\in X:T(x)=0\}$ 为闭线性子空间

设 $X$ 为赋范空间，$Y$ 为 Banach 空间，则 $B(X,Y)$ 为 Banach 空间

延拓 $X_0\subset X,T:X\to Y,S:X_0\to Y$，若 $\forall x\in X_0,S(x)=T(x)$，则 $T$ 为 $S$ 的延拓，$S$ 为 $T$ 的限制，记 $S=T{\mid }_{X_0}$

设 $X$ 赋范空间，$Y$ Banach 空间，$X_0\subset X$ 为稠密线性子空间，又设 $T_0\in B(X_0,Y)$，则存在唯一的 $T\in B(X,Y)$ 使得 $T{\mid }_{X_0}=T_0$ 且 $\Vert T\Vert =\Vert T_0\Vert$

有界线性泛函及其表示

线性泛函 线性算子 $f:X\to \mathbb{K}$

代数对偶空间 $X^{\ast }=\{\text{全体线性泛函}\}$

拓扑对偶空间（对偶空间、共轭空间） $X^{\prime }=B(X,\mathbb{K})$

常见赋范空间的对偶空间：

• $({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_2{)}^{\prime }=({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_2)$
• $({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_p{)}^{\prime }=({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_q)$
• $c_0^{\prime }={\ell }^1$，其中 $c_0=(\{\{x_n\}\in {\ell }^{\infty }:\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0\},\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$
• $({\ell }^1{)}^{\prime }={\ell }^{\infty }$
• $({\ell }^p{)}^{\prime }={\ell }^q$，其中 $1<p<\infty ,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

内积空间和 Hilbert 空间

内积空间

内积 $⟨\cdot ,\cdot ⟩:X^2\to \mathbb{K},(x,y)\mapsto ⟨x,y⟩$，若

1. $⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$
2. $⟨\alpha x,y⟩=\alpha ⟨x,y⟩$
3. $⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$
4. $⟨x,x⟩\ge 0$
5. $⟨x,x⟩=0⟺x=0$

内积空间 序对 $(X,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 为内积空间，其中 $X$ 为线性空间，$⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 为内积

诱导范数 $\Vert x\Vert =⟨x,x{⟩}^{\frac{1}{2}}$

Hilbert 空间 $X$ 为 Hilbert 空间，若诱导范数使之成为 Banach 空间

平行四边形恒等式 $\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2$

极化恒等式

• $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 时，$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)$
• $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ 时，$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)+\frac{i}{4}(\Vert x+iy{\Vert }^2-\Vert x-iy{\Vert }^2)$

正交补及正交投影

正交 $x\perp y⟺⟨x,y⟩=0$

正交补 $M^{\perp }=\{x\in X:\forall y\in M,⟨x,y⟩=0\}$

凸集 $M\subset X$ 为凸集，若 $\forall x,y\in M,\forall \alpha \in [0,1],\alpha x+(1-\alpha )y\in M$

设 $X$ 为内积空间，$M$ 为非空凸集，且 $X$ 在 $M$ 上诱导度量使之成为完备空间，则任给 $x_0\in X,\exists !y_0\in M,\rho (x_0,M)=\Vert x_0-y_0\Vert$

• 若 $X$ 为 Hilbert 空间，可设 $M$ 为非空凸闭集
• 若 $X$ 为内积空间，可设 $M$ 为完备线性子空间

直和 $X=M\oplus N⟺X=\mathrm{span}(M\cup N)$ 且 $M\cap N=\{0\},\forall x\in X,\exists !m\in M,n\in N,x=m+n$

正交分解定理 设 $H$ 为 Hilbert 空间，$M$ 为 $H$ 的闭线性子空间，则 $H=M\oplus M^{\perp }$

正交投影 $P_M:H\to M$，$x\mapsto y$，$\Vert x-y\Vert =\rho (x,M)$

设 $H$ 为 Hilbert 空间，$M$ 为 $H$ 的闭子空间，则

1. $P_M$ 为有界线性算子，且 $\Vert P_M\Vert \le 1$
2. $P_M^2=P_M$
3. $R(P_M)=M,N(P_M)=M^{\perp }$

设 $H$ 为 Hilbert 空间，$M$ 为 $H$ 的闭子空间，则 $(M^{\perp }{)}^{\perp }=M$

设 $X$ 为内积空间，$M$ 为 $X$ 的非空子集，则 $(\mathrm{span}(M){)}^{\perp }=M^{\perp }=(\overline{M}{)}^{\perp }$

完全集 $M\subset X$ 为完全集，若 $\mathrm{span}(M)$ 在赋范空间 $X$ 中稠密

设 $H$ 为 Hilbert 空间，$M$ 为非空子集，则 $M$ 为完全集 $⟺M^{\perp }=\{0\}$

标准正交集与标准正交基

标准正交集 $M\subset X$ 为标准正交集，若 $M$ 线性无关且 $\forall x,y\in M,⟨x,y⟩=0,\Vert x\Vert =\Vert y\Vert =1$

标准正交序列 若标准正交集为可数集，则称之为标准正交序列

标准正交组 若标准正交集为有限集，则称之为标准正交组

Bessel 不等式 $\sum _{i=1}^{\infty }|⟨x,e_i⟩{|}^2\le \Vert x{\Vert }^2$

标准正交基 $M$ 为标准正交基，若 $M$ 为内积空间 $H$ 的标准正交集且 $\overline{\mathrm{span}(M)}=H$

设 $M$ 为内积空间 $H$ 的标准正交集，则下述命题相互等价

1. $M$ 为 $H$ 的标准正交基
2. $\forall x\in H,x=\sum _{e\in M}^{\infty }⟨x,e⟩e$
3. $\forall x,y\in H,⟨x,y⟩=\sum _{e\in M}^{\infty }⟨x,e⟩⟨e,y⟩$
4. $\forall x\in H,\Vert x{\Vert }^2=\sum _{e\in M}^{\infty }|⟨x,e⟩{|}^2$（Parseval 等式）

Gram-Schmidt 标准正交化方法 设 $\{x_1,x_2,\cdots \}$ 为内积空间 $X$ 的一列线性无关元素，则存在 $\{e_1,2_2,\cdots \}$ 为标准正交序列，使得任给 $n\ge 1$，有 $\mathrm{span}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\mathrm{span}(e_1,e_2,\cdots ,e_n)$

Hilbert 空间上有界线性泛函的表示

Riesz 表示定理 若 $H$ 为 Hilbert 空间，则任取 $f\in H^{\prime }$，$\exists !y\in H,\forall x\in H,f(x)=⟨x,y⟩$

共轭双线性泛函 $h:X\times Y\to \mathbb{K}$，若

1. $h(x_1+x_2,y)=h(x_1,y)+h(x_2,y)$
2. $\forall \alpha \in \mathbb{K},h(\alpha x,y)=\alpha h(x,y)$
3. $h(x,y_1+y_2)=h(x,y_1)+h(x,y_2)$
4. $\forall \alpha \in \mathbb{K},h(x,\alpha y)=\overline{\alpha }h(x,y)$

共轭双线性泛函的范数 $\Vert h\Vert =\underset{x\ne 0,y\ne 0}{\sup }\frac{|h(x,y)|}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }$

Riesz 定理 设 $H_1,H_2$ 为 Hilbert 空间，$h:H_1\times H_2\to \mathbb{K}$ 为有界共轭双线性泛函，则存在唯一的 $T\in B(H_1,H_2)$，使得 $\forall x\in H_1,y\in H_2,h(x,y)=⟨T(x),y⟩$，此时 $\Vert T\Vert =\Vert h\Vert$

伴随算子 $T^{\ast }:H_2\to H_1$，$y\mapsto x$，$\forall x\in H_1,y\in H_2,⟨T(x),y⟩=⟨x,T^{\ast }(y)⟩$

伴随算子的性质 设 $H_1,H_2$ 为 Hilbert 空间，$S，T\in B(H_1,H_2)$，$\alpha \in \mathbb{K}$，则

1. $(S+T{)}^{\ast }=S^{\ast }+T^{\ast }$
2. $(\alpha S{)}^{\ast }=\overline{\alpha }{S}^{\ast }$
3. $(T^{\ast }{)}^{\ast }=T$
4. $\Vert T^{\ast }T\Vert =\Vert T{T}^{\ast }\Vert =\Vert T{\Vert }^2$
5. $T^{\ast }T=0⟺T=0$
6. 若 $H_3$ 为 Hilbert 空间，$P\in B(H_2,H_3)$，则 $(PT{)}^{\ast }=T^{\ast }{P}^{\ast }$

赋范空间中的基本定理

Hahn-Banach 定理

次线性泛函 $p:X\to \mathbb{R}$，若

1. $\forall x,y\in X,p(x+y)\le p(x)+p(y)$
2. $\forall x\in X,\alpha \ge 0,p(\alpha x)=\alpha p(x)$

Hahn-Banach 定理（1） 设 $X$ 为实线性空间，$p$ 为次线性泛函，$Z$ 为线性子空间，$f\in Z^{\ast }$，设 $f(x)\le p(x)$，则 $\exists g\in X^{\ast },g{\mid }_Z=f,g(x)\le p(x)$

半范数 $p:X\to \mathbb{R}$，若

1. $\forall x\in X,p(x)\ge 0$
2. $\forall x,y\in X,p(x+y)\le p(x)+p(y)$
3. $\forall x\in X,\alpha \in \mathbb{K},p(\alpha x)=|\alpha |p(x)$

Hahn-Banach 定理（2） 设 $X$ 为线性空间，$p$ 为半范数，$Z$ 为线性子空间，$f\in Z^{\ast }$，设 $f(x)\le p(x)$，则 $\exists g\in X^{\ast },g{\mid }_Z=f,g(x)\le p(x)$

Hahn-Banach 定理（3） 设 $X$ 为赋范空间，$Z$ 为线性子空间，$f\in Z^{\prime }$，则 $\exists g\in X^{\prime },g{\mid }_Z=f,\Vert g\Vert =\Vert f\Vert$

Hahn-Banach 定理（4） 设 $X$ 为赋范空间，$x_0\in X,x_0\ne 0$，则 $\exists f\in X^{\prime },\Vert f\Vert =1,f(x_0)=\Vert x_0\Vert$

$x_0=0⟹f(x_0)=0,\forall f\in X^{\prime }$

设 $X$ 为非零赋范空间，$x_0\in X$，则 $\Vert x_0\Vert =\underset{f\ne 0}{\max }\frac{|f(x_0)|}{\Vert f\Vert }=\underset{\Vert f\Vert \le 1}{\max }|f(x_0)|$

共轭算子 $T^{\ast }:Y^{\prime }\to X^{\prime }$，$T^{\ast }(f)=f\circ T$

共轭算子的性质 设 $X,Y$ 为赋范空间，$T\in B(X,Y)$，则 $T^{\ast }\in B(Y^{\prime },X^{\prime })$，且 $\Vert T^{\ast }\Vert =\Vert T\Vert$

典范映射 $J:X\to X^{\prime \prime },J(x)=g_x$，$g_x(f)=f(x)$

自反空间 $X$ 为自反空间，若 $J$ 为满射

设 $X$ 为赋范空间，$X^{\prime }$ 为可分空间，则 $X$ 为可分空间

一致有界性定理

一致有界性定理 设 $X$ 为 Banach 空间，$Y$ 为赋范空间，$(T_i{)}_{i\in I}\subset B(X,Y)$，若 $\forall x\in X,\underset{i\in I}{\sup }\Vert T_i(x)\Vert <\infty$，则 $\underset{i\in I}{\sup }\Vert T_i\Vert <\infty$

强收敛与弱收敛

开映射定理和闭图像定理

开映射 $T:X\to Y$ 为开映射，若 $\forall G\subset X$ 为开集，$T(G)=\{T(x):x\in G\}$ 为 $Y$ 的开集

开映射定理 设 $X,Y$ 为 Banach 空间，$T\in B(X,Y)$，若 $T$ 为满射，则 $T$ 为开映射。若 $T$ 为双射，则 $T^{-1}\in B(Y,X)$

设 $X$ 为线性空间，$\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$ 为 $X$ 上的两个范数，且和 $X$ 构成 Banach 空间。若 $\exists \alpha >0,\Vert x{\Vert }_1\le \alpha \Vert x{\Vert }_2,\forall x\in X$，则 $\exists \beta >0,\Vert x{\Vert }_2\le \beta \Vert x{\Vert }_1,\forall x\in X$，即两个范数等价

闭算子 $T:D(T)\to Y$ 为闭算子，若 $G_T=\{(x,T(x)):x\in X\}$ 为 $X\times Y$ 的闭集

闭图像定理 设 $X,Y$ 为 Banach 空间，$D(T)\subset X$ 为闭线性子空间，$T:D(T)\to Y$ 为闭算子，则 $T$ 为有界线性算子

在逼近论中的应用

习题 1

设 $p$ 为赋范空间 $X$ 上的次线性泛函，满足 $p(0)=0$，且在 $0$ 处连续，求证：$p$ 为连续映射

解答

$p$ 为次线性泛函，即 $p(x+y)\le p(x)+p(y)$ 且 $p(\alpha x)=\alpha p(x)$，其中 $\alpha \ge 0$。

已知 $p$ 在 $0$ 处连续，即 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$，使得 $\forall x\in X$，$\Vert x\Vert <\delta$ 时，$|p(x)|<\epsilon$。

对于任意 $x_0,x\in X,\Vert x\Vert <\delta$，有

$$\begin{array}{rl}p(x_0)=p(x_0+x-x)& \le p(x_0+x)+p(-x)\\ -\epsilon <-p(-x)& \le p(x_0+x)-p(x_0)\le p(x)+p(x_0)-p(x_0)\\ -\epsilon & <p(x_0+x)-p(x_0)\le p(x)<\epsilon \\ |p(x_0+x)-p(x_0)|& <\epsilon \end{array}$$

故 $p$ 在 $x_0$ 处连续，故 $p$ 为连续映射。

习题 2

设 $X$ 为线性空间，$p:X\to \mathbb{R}$，使得任取 $x,y\in X,\lambda \in \mathbb{K}$，有 $p(x+y)\le p(x)+p(y),p(\lambda x)=|\lambda |p(x)$。求证：$p$ 为 $X$ 上的半范数。

解答

回顾半范数定义：$p:X\to \mathbb{R}$ 满足

1. $\forall x\in X,p(x)\ge 0$
2. $\forall x,y\in X,p(x+y)\le p(x)+p(y)$
3. $\forall x\in X,\forall \lambda \in \mathbb{K},p(\lambda x)=|\lambda |p(x)$

对比题设，只须证明 1 也成立

取 $\lambda =0$，易得 $p(0)=0$。再取 $y=-x$，则 $p(x+y)=p(0)\le p(x)+p(-x)$，因此任一对 $p(x),p(-x)$ 中至少有一个非负。

又 $p(-x)=|-1|p(x)=p(x)$，故 $p(x)=p(-x)\ge 0$，故 $p$ 为 $X$ 上的半范数。

4.3

习题 4

设 $X$ 为赋范空间，$M$ 为 $X$ 的线性子空间，$x_0\in X$。求证：$x_0\in \overline{M}$ 当且仅当任取 $f\in X^{\prime },f{|}_M=0$ 时，$f(x_0)=0$。

解答

充分性

$x_0\in \overline{M}$，故 $\exists x_n\in M,x_n\to x_0$。

$f\in X^{\prime }$，则 $f$ 连续，故 $f(x_n)\to f(x_0)$。

$f{|}_M=0⟹f(x_n)=0⟹f(x_0)=\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=0$。

必要性

假设 $x_0\notin \overline{M}$，则 $\rho (x_0,M)>0$。

由 Hahn-Banach 定理，$\exists f\in X^{\prime },f{|}_M=0,f(x_0)=1,\Vert f\Vert =\rho (x_0,M)$。这与 $f(x_0)=0$ 矛盾。

构造这一泛函可见 $x_0$ is in the closure of $M$ iff there is no bounded linear functional on $X$

习题 5

设 $X$ 为可分赋范空间，求证：存在 $X^{\prime }$ 单位球面的可数子集 $N$，使得任取 $x\in X$，有 $\Vert x\Vert =\underset{f\in N}{\sup }|f(x)|$。

解答

记 $S$ 为 $X^{\prime }$ 的单位球面。

$X$ 可分，即 $\exists M$ 为可数集，且 $\overline{M}=X$

由 Hahn-Banach 定理，$\forall x\in X,x\ne 0,\exists f_x\in X^{\prime },\Vert f_x\Vert =1,f_x(x)=\Vert x\Vert$。

构造集合 $N=\{f_x:x\in M\}$，则 $M$ 为可数集 $⟹N$ 为可数集，且 $\Vert f_x\Vert =1⟹N\subset S$。故 $N$ 为 $S$ 的可数子集。

$\forall f\in N,|f(x)|\le \Vert f\Vert \Vert x\Vert =\Vert x\Vert ⟹\underset{f\in N}{\sup }|f(x)|\le \Vert x\Vert$。

$\forall x\in X,\exists x_n\in M,x_n\to x$，即 $\forall \epsilon >0,\exists K,\forall k>K,\Vert x_k-x\Vert <\epsilon$。

$$\begin{array}{rl}|f_{x_k}(x)|& =|f_{x_k}(x_k+(x-x_k))|\\ & =|f_{x_k}(x_k)+f_{x_k}(x-x_k)|\\ & \le |f_{x_k}(x_k)|+|f_{x_k}(x-x_k)|\\ & =\Vert x_k\Vert +|f_{x_k}(x-x_k)|\\ & \le \Vert x_k\Vert +\Vert f_{x_k}\Vert \Vert x-x_k\Vert \\ & =\Vert x_k\Vert +\Vert x-x_k\Vert \\ & <\Vert x_k\Vert +\epsilon \end{array}$$

由 $\epsilon$ 的任意性，$\underset{f\in N}{\sup }|f(x)|=\Vert x\Vert$。

习题 6

设 $X$ 为赋范空间，$f\in X^{\ast }$。求证：$f\in X^{\prime }$ 当且仅当 $N(f)$ 为 $X$ 的闭线性子空间。

解答

充分性

$\forall x_1,x_2\in N(f),\alpha ,\beta \in \mathbb{K},f(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)=\alpha 0+\beta 0=0$，故 $\alpha x_1+\beta x_2\in N(f)$，故 $N(f)$ 为 $X$ 的线性子空间。

$\forall x_n\in N(f),x_n\to x$，由 $f\in X^{\prime }$ 知 $f$ 连续，故 $f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }0=0$，故 $x\in N(f)$，故 $N(f)$ 为 $X$ 的闭线性子空间。

必要性

$N(f)$ 为 $X$ 的闭线性子空间，故 $N(f)=\overline{N(f)}$。

若 $N(f)=X$，则 $f=0\in X^{\prime }$。

若 $N(f)⊊X$，则 $N(f)$ 不稠密，故 $\exists x_0\in X\setminus N(f),r>0,B(x_0,r)\subset X\setminus N(f)$。

假设 $f\in X^{\ast }\setminus X^{\prime }$，则 $f(B(x_0),r)$ 不是有界集，进而 $f(x_0)+rB(0,1)$ 不是有界集。

$\forall k\in \mathbb{K},\exists x_1\in B(x_0,r),|f(x_1)|>|k|$。取 $x_2=x_0-\frac{f(x_0)}{f(x_1)}{x}_1$，则 $\Vert x_2-x_0\Vert =\Vert \frac{x_0}{x_1}{x}_1\Vert =|\frac{f(x_0)}{f(x_1)}|\Vert x_1\Vert$，由 $|f(x_1)|$ 可任意大，故 $\Vert x_2-x_0\Vert$ 可任意小，故 $x_2\in B(x_0,r)$。

又 $|f(x_2)|=|f(x_0)-f(x_0)|=0$，即 $x_2\in N(f)$，与 $x_2\in B(x_0,r)\subset X\setminus N(f)$ 矛盾。

故 $f\in X^{\prime }$。

习题 7

设 $X$ 为赋范空间，$M$ 为 $X^{\prime }$ 的非空子集，求证：若 $\overline{\mathrm{span}(M)}=X^{\prime }$，则 $\bigcap _{f\in M}N(f)=\{0\}$。

解答

设 $x_0\ne 0,x_0\in \bigcap _{f\in M}N(f)$，则 $\forall f\in M,f(x_0)=0$。

由 Hahn-Banach 定理，$\exists f\in X^{\prime },\Vert f\Vert =1,f(x_0)=\Vert x_0\Vert$。

由 $\overline{\mathrm{span}(M)}=X^{\prime }$，$\exists f_n=\sum _{i\ge 1}{a}_{ni}{f}_i\to f$，其中 $f_i\in M,a_{ni}\in \mathbb{K}$。则有

$$\begin{array}{rl}|f_n(x_0)-f(x_0)|& =|\sum _{i\ge 1}{a}_{ni}{f}_i(x_0)-f(x_0)|\\ & =|\sum _{i\ge 1}{a}_{ni}\cdot 0-\Vert x_0\Vert |\\ & =\Vert x_0\Vert \end{array}$$

由 $f_n\to f$，则 $\forall \epsilon >0,\exists N,\forall n>N,|f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon$。进而 $\Vert x_0\Vert <\epsilon$，由 $\epsilon$ 的任意性，$\Vert x_0\Vert =0$，故 $x_0=0$。这与假设矛盾，故 $\bigcap _{f\in M}N(f)=\{0\}$。

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

习题 13

设 $X,Y$ 为赋范空间，$T\in B(X,Y),T^{\ast }\in B(Y^{\prime },X^{\prime })$ 为其共轭算子。求证：${}^{\perp }R(T)=N(T^{\ast })$。

解答

记 $f:Y\to \mathbb{K}$，则 $T^{\ast }:Y^{\prime }\to X^{\prime },f\mapsto f\circ T$。

$D(T)=X,R(T)=\{Tx\in Y,x\in D(T)=X\}{,}^{\perp }R(T)=\{g\in Y^{\prime }:g{|}_{R(T)}=0\}=\{g\in Y^{\prime }:g(Tx)=0,\forall x\in X\}$

$N(T^{\ast })=\{f\in Y^{\prime }:T^{\ast }f=0\}=\{f\in Y^{\prime }:f\circ T=0\}=\{f\in Y^{\prime }:f(Tx)=0,\forall x\in X\}$

故 ${}^{\perp }R(T)=N(T^{\ast })$。

习题 14

设 $(X,d)$ 为度量空间，求证：$M\subset X$ 为无处稠密子集当且仅当 $(\overline{M}{)}^c$ 为 $X$ 的稠密子集。