习题 4.10

设 $X$ 为赋范空间, $M$ 为 $X$ 的线性子空间, 令 $⊥ M = {f \in X^{'} : f ∣_{M} = 0}$ . 若 $M_{1}, M_{2}$ 为 $X$ 的闭线性子空间, 且 $M_{1} \neq = M_{2}$ . 求证: $^{⊥} M_{1} \neq =^{⊥} M_{2}$ .

解答

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证明： 设 $X$ 为赋范空间， $M$ 为 $X$ 的线性子空间，记 $^{⊥} M = {f \in X^{'} ∣ f ∣_{M} = 0} .$ 若 $N \subseteq X^{'}$ ，定义其预零化子为 $N_{⊥} = {x \in X ∣ f (x) = 0, \forall f \in N} .$ 容易验证 $M \subseteq (^{⊥} M)_{⊥}$ 恒成立。

以下引理是 Hahn–Banach 定理的直接推论：

引理若 $M$ 是 $X$ 的闭线性子空间，则 $M = (^{⊥} M)_{⊥}$ 。

引理的证明：只需证 $(^{⊥} M)_{⊥} \subseteq M$ 。取 $x_{0} \in / M$ ，因 $M$ 闭，故 $d = dist (x_{0}, M) > 0$ 。由 Hahn–Banach 定理（保范延拓），存在 $f \in X^{'}$ 满足 $f ∣_{M} = 0$ ， $f (x_{0}) = d \neq = 0$ ，且 $∥ f ∥ = 1$ 。于是 $f \in^{⊥} M$ 而 $f (x_{0}) \neq = 0$ ，从而 $x_{0} \in / (^{⊥} M)_{⊥}$ 。因此 $(^{⊥} M)_{⊥} \subseteq M$ 。 $□$

现在设 $M_{1}, M_{2}$ 为 $X$ 的闭线性子空间，且 $M_{1} \neq = M_{2}$ 。若假设 $^{⊥} M_{1} =^{⊥} M_{2}$ ，则 $(^{⊥} M_{1})_{⊥} = (^{⊥} M_{2})_{⊥} .$ 由引理知 $M_{1} = (^{⊥} M_{1})_{⊥}$ ， $M_{2} = (^{⊥} M_{2})_{⊥}$ ，故 $M_{1} = M_{2}$ ，与已知矛盾。所以 $^{⊥} M_{1} \neq =^{⊥} M_{2}$ 。 ∎

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