习题 4.9

考虑 $c_0$ 的线性子空间 $M=\left\{\left\{x_n\right\}\in c_0:{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}=0\right\}$. 求证: 任取 $x\notin M,x$ 在 $M$ 中无最佳逼近元.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明. 定义线性泛函 $f:c_0\to \mathbb{C}$（或 $\mathbb{R}$）为 $$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n},x=(x_n)\in c_0.$$ 因为 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{2}^{-n}=1$，对任意 $x\in c_0$ 有 $$|f(x)|\le \sum _{n=1}^{\infty }\frac{|x_n|}{2^n}\le \Vert x{\Vert }_{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}=\Vert x{\Vert }_{\infty },$$ 故 $f$ 连续且 $\Vert f\Vert \le 1$。取 $x^{(N)}=(1,\dots ,1,0,0,\dots )$（前 $N$ 项为 $1$），则 $\Vert x^{(N)}{\Vert }_{\infty }=1$，且 $$f(x^{(N)})=\sum _{n=1}^N\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^N}\to 1(N\to \infty ),$$ 所以 $\Vert f\Vert =1$。

设 $M=\ker f=\{x\in c_0:f(x)=0\}$，则 $M$ 是 $c_0$ 的闭线性子空间。任取 $x\notin M$，记 $d={\inf }_{z\in M}\Vert x-z{\Vert }_{\infty }$。下面证明 $d=|f(x)|$。

下界：对任意 $z\in M$，$f(z)=0$，于是 $$|f(x)|=|f(x)-f(z)|=|f(x-z)|\le \Vert f\Vert \cdot \Vert x-z{\Vert }_{\infty }=\Vert x-z{\Vert }_{\infty },$$ 故 $d\ge |f(x)|$。

上界：对每个 $N\in \mathbb{N}$，令 $u_N=(1,\dots ,1,0,0,\dots )$（前 $N$ 项为 $1$），则 $\Vert u_N{\Vert }_{\infty }=1$ 且 $f(u_N)=1-2^{-N}>0$。取 $$z_N=x-\frac{f(x)}{f(u_N)}{u}_N,$$ 则 $f(z_N)=f(x)-\frac{f(x)}{f(u_N)}f(u_N)=0$，即 $z_N\in M$。于是 $$\Vert x-z_N{\Vert }_{\infty }={\Vert \frac{f(x)}{f(u_N)}{u}_N\Vert }_{\infty }=\frac{|f(x)|}{f(u_N)}\to |f(x)|(N\to \infty ),$$ 因此 $d\le |f(x)|$。综上 $d=|f(x)|$。

现假设存在 $z\in M$ 使 $\Vert x-z{\Vert }_{\infty }=d$。令 $y=x-z$，则 $f(y)=f(x)\ne 0$，且 $\Vert y{\Vert }_{\infty }=d=|f(y)|$。记 $\alpha =f(y)$，$d=|\alpha |>0$，并记 $w_n=2^{-n}$，则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{w}_n=1$，$w_n>0$，且 $$\alpha =f(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{w}_n{y}_n,\Vert y{\Vert }_{\infty }=|\alpha |.$$ 于是 $$|\alpha |=\left|\sum _{n=1}^{\infty }{w}_n{y}_n\right|\le \sum _{n=1}^{\infty }{w}_n|y_n|\le \Vert y{\Vert }_{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{w}_n=|\alpha |.$$ 故两个不等式均取等号。

由第一个等号 $|\sum w_n{y}_n|=\sum w_n|y_n|$ 可知，存在常数 $\theta \in \mathbb{R}$ 使得 $e^{-i\theta }{y}_n=|y_n|$ 对所有 $n$ 成立（即所有 $y_n$ 具有相同的辐角）；特别地，在实数情形下所有 $y_n$ 同号。

由第二个等号 $\sum w_n|y_n|=\Vert y{\Vert }_{\infty }\sum w_n$，并注意到 $|y_n|\le \Vert y{\Vert }_{\infty }=|\alpha |$ 且 $w_n>0$，若存在某个 $k$ 使 $|y_k|<|\alpha |$，则 $$\sum _{n=1}^{\infty }{w}_n|y_n|<|\alpha |\sum _{n=1}^{\infty }{w}_n=|\alpha |,$$ 矛盾。因此对一切 $n$，$|y_n|=|\alpha |$。

结合两点，得 $y_n=|\alpha |e^{i\theta }$（实数情形为 $y_n=\pm |\alpha |$ 且符号一致），即 $y$ 为常数序列。但 $y\in c_0$ 要求 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=0$，这与 $|\alpha |>0$ 矛盾。

因此假设不成立，不存在 $z\in M$ 使得 $\Vert x-z{\Vert }_{\infty }=d$，即 $x$ 在 $M$ 中无最佳逼近元。∎