习题 4.8

设 $X$ 为赋范空间, $M$ 为 $X$ 的线性子空间, $x\in X$, 求证: $$\rho (x,M)\ge \sup \left\{|f(x)|:f\in X^{\prime },\Vert f\Vert \le 1,{f|}_M=0\right\}.$$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：记 $d=\rho (x,M)={\inf }_{y\in M}\Vert x-y\Vert$。
任取 $f\in X^{\prime }$ 满足 $\Vert f\Vert \le 1$ 且 $f{|}_M=0$。对任意 $y\in M$，由于 $f(y)=0$，有
$$f(x)=f(x-y),$$ 从而
$$|f(x)|=|f(x-y)|\le \Vert f\Vert \cdot \Vert x-y\Vert \le \Vert x-y\Vert .$$ 上式对每个 $y\in M$ 都成立，故
$$|f(x)|\le \underset{y\in M}{\inf }\Vert x-y\Vert =d.$$ 由于 $f$ 是满足条件的任意泛函，对上式取上确界得
$$\sup \{|f(x)|:f\in X^{\prime },\Vert f\Vert \le 1,f{|}_M=0\}\le d,$$ 即
$$\rho (x,M)\ge \sup \{|f(x)|:f\in X^{\prime },\Vert f\Vert \le 1,f{|}_M=0\}.$$ 不等式得证。