习题 7

设 $X$ 为赋范空间，$M$ 为 $X^{\prime }$ 的非空子集，求证：若 $\overline{\mathrm{span}(M)}=X^{\prime }$，则 $\bigcap _{f\in M}N(f)=\{0\}$。

解答

设 $x_0\ne 0,x_0\in \bigcap _{f\in M}N(f)$，则 $\forall f\in M,f(x_0)=0$。

由 Hahn-Banach 定理，$\exists f\in X^{\prime },\Vert f\Vert =1,f(x_0)=\Vert x_0\Vert$。

由 $\overline{\mathrm{span}(M)}=X^{\prime }$，$\exists f_n=\sum _{i\ge 1}{a}_{ni}{f}_i\to f$，其中 $f_i\in M,a_{ni}\in \mathbb{K}$。则有

$$\begin{array}{rl}|f_n(x_0)-f(x_0)|& =|\sum _{i\ge 1}{a}_{ni}{f}_i(x_0)-f(x_0)|\\ & =|\sum _{i\ge 1}{a}_{ni}\cdot 0-\Vert x_0\Vert |\\ & =\Vert x_0\Vert \end{array}$$

由 $f_n\to f$，则 $\forall \epsilon >0,\exists N,\forall n>N,|f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon$。进而 $\Vert x_0\Vert <\epsilon$，由 $\epsilon$ 的任意性，$\Vert x_0\Vert =0$，故 $x_0=0$。这与假设矛盾，故 $\bigcap _{f\in M}N(f)=\{0\}$。