习题 4.12

设 $M$ 为赋范空间 $X$ 的非空子集, 求证: $M$ 在 $X$ 中为完全集当且仅当在 $M$ 上恒为 0 的 $f\in X^{\prime }$ 在 $X$ 上也恒为 0.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：设 $M\subset X$ 非空，记 $E=\mathrm{span}(M)$ 为其生成的线性子空间。
$M$ 称为完全的，即 $\overline{E}=X$。

必要性（$\Rightarrow$）：
若 $\overline{E}=X$，取 $f\in X^{\prime }$ 满足 $f{|}_M=0$。由于 $f$ 为线性泛函，$f{|}_M=0$ 推出 $f{|}_E=0$。
又 $f$ 连续，而 $E$ 在 $X$ 中稠密，故对任意 $x\in X$ 存在 $\{x_n\}\subset E$ 使 $x_n\to x$，从而
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=0.$$
因此 $f=0$。

充分性（$\Leftarrow$）：
假设对任意 $f\in X^{\prime }$，若 $f{|}_M=0$ 则 $f=0$。
用反证法：若 $E$ 不稠密，即 $\overline{E}\ne X$，则存在 $x_0\in X\setminus \overline{E}$。
由于 $\overline{E}$ 是 $X$ 的闭线性子空间，且 $x_0\notin \overline{E}$，故 $\mathrm{dist}(x_0,\overline{E})>0$。
考虑子空间 $Y=\overline{E}\oplus \mathbb{K}{x}_0$（$\mathbb{K}$ 为实数域或复数域），并在 $Y$ 上定义线性泛函
$$g(y+\alpha x_0)=\alpha ,y\in \overline{E},\alpha \in \mathbb{K}.$$
对任意 $z=y+\alpha x_0\in Y$，
$$\Vert z\Vert =\Vert y+\alpha x_0\Vert \ge |\alpha |\mathrm{dist}(x_0,\overline{E}).$$
从而 $|g(z)|=|\alpha |\le \frac{\Vert z\Vert }{\mathrm{dist}(x_0,\overline{E})}$，故 $g$ 有界。
由 Hahn-Banach 定理，$g$ 可延拓为 $f\in X^{\prime }$，且 $f{|}_{\overline{E}}=0$，$f(x_0)=1$。
特别地，$f{|}_M=0$。按假设应有 $f=0$，但 $f(x_0)=1$，矛盾。
因此 $\overline{E}=X$，即 $M$ 为完全集。

综上，结论成立。$\square$