习题 13

设 $X, Y$ 为赋范空间， $T \in B (X, Y), T^{*} \in B (Y^{'}, X^{'})$ 为其共轭算子。求证： $^{⊥} R (T) = N (T^{*})$ 。

解答

记 $f : Y \to K$ ，则 $T^{*} : Y^{'} \to X^{'}, f \mapsto f \circ T$ 。

$D (T) = X, R (T) = {T x \in Y, x \in D (T) = X},^{⊥} R (T) = {g \in Y^{'} : g ∣_{R (T)} = 0} = {g \in Y^{'} : g (T x) = 0, \forall x \in X}$

$N (T^{*}) = {f \in Y^{'} : T^{*} f = 0} = {f \in Y^{'} : f \circ T = 0} = {f \in Y^{'} : f (T x) = 0, \forall x \in X}$

故 $^{⊥} R (T) = N (T^{*})$ 。