习题 13

设 $X,Y$ 为赋范空间，$T\in B(X,Y),T^{\ast }\in B(Y^{\prime },X^{\prime })$ 为其共轭算子。求证：${}^{\perp }R(T)=N(T^{\ast })$。

解答

记 $f:Y\to \mathbb{K}$，则 $T^{\ast }:Y^{\prime }\to X^{\prime },f\mapsto f\circ T$。

$D(T)=X,R(T)=\{Tx\in Y,x\in D(T)=X\}{,}^{\perp }R(T)=\{g\in Y^{\prime }:g{|}_{R(T)}=0\}=\{g\in Y^{\prime }:g(Tx)=0,\forall x\in X\}$

$N(T^{\ast })=\{f\in Y^{\prime }:T^{\ast }f=0\}=\{f\in Y^{\prime }:f\circ T=0\}=\{f\in Y^{\prime }:f(Tx)=0,\forall x\in X\}$

故 ${}^{\perp }R(T)=N(T^{\ast })$。