内积空间和 Hilbert 空间

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内积空间

定义（内积）

设 $X$ 为数域 $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$) 上的线性空间，映射 $⟨\cdot ,\cdot ⟩:X\times X\to \mathbb{K}$ 称为内积，若满足：

1. $⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$;
2. $⟨\alpha x,y⟩=\alpha ⟨x,y⟩$;
3. $⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$;
4. $⟨x,x⟩\ge 0$;
5. $⟨x,x⟩=0⟺x=0$.

则称 $(X,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 为内积空间。

性质

• 关于第二个变量共轭线性：$⟨z,\alpha x+\beta y⟩=\overline{\alpha }⟨z,x⟩+\overline{\beta }⟨z,y⟩$。
• 由内积诱导范数：$\Vert x\Vert :=\sqrt{⟨x,x⟩}$ 是 $X$ 上的范数，称为诱导范数。

定理（Schwarz不等式和三角不等式）

设 $(X,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 是内积空间，则对任意 $x,y\in X$：

1. Schwarz不等式：$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$，等号成立当且仅当 $x$ 与 $y$ 线性相关。
2. 三角不等式：$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$，等号成立当且仅当 $y=0$ 或 $x=cy$ ($c\ge 0$)。

定理（平行四边形等式和极化恒等式）

• 平行四边形等式：$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2)$。
• 极化恒等式：
  • 若 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$：$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)$；
  • 若 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$：$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)+\frac{i}{4}(\Vert x+iy{\Vert }^2-\Vert x-iy{\Vert }^2)$。

一个赋范空间 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 的范数可由某个内积诱导当且仅当范数满足平行四边形等式。

定义（Hilbert空间）

若内积空间 $X$ 在诱导范数下是完备的（即为 Banach 空间），则称 $X$ 为 Hilbert 空间。

定理（内积的连续性）

设 $X$ 是内积空间，若 $x_n\to x$, $y_n\to y$（在诱导范数下），则 $⟨x_n,y_n⟩\to ⟨x,y⟩$。

定义（等距同构）

设 $X,Y$ 是内积空间，线性映射 $T:X\to Y$ 是等距同构，若 $T$ 是一一映射且保持内积：$⟨T{x}_1,T{x}_2{⟩}_Y=⟨x_1,x_2{⟩}_X$，此时称 $X$ 与 $Y$ 等距同构。

定理（内积空间的完备化）

任何内积空间 $X$ 都存在一个 Hilbert 空间 $\hat{X}$ 作为完备化，即存在 $\hat{X}$ 的稠密线性子空间 $Y$ 与 $X$ 等距同构，且 $\hat{X}$ 在等距同构意义下唯一。

正交补及正交投影

定义（正交）

设 $X$ 是内积空间，$x,y\in X$，若 $⟨x,y⟩=0$，则称 $x$ 与 $y$ 正交，记作 $x\perp y$。对于子集 $M,N\subseteq X$，若 $\forall x\in M,y\in N$ 有 $x\perp y$，则称 $M$ 与 $N$ 正交，记作 $M\perp N$。定义 $M$ 的正交补为 $$M^{\perp }:=\{x\in X:x\perp M\}.$$

$M^{\perp }$ 总是 $X$ 的闭线性子空间。

定义（凸集）

$X$ 的子集 $C$ 称为凸集，如果对任意 $x,y\in C$ 和 $\lambda \in [0,1]$，有 $\lambda x+(1-\lambda )y\in C$。

定理（最佳逼近存在唯一性）

设 $X$ 是内积空间，$M$ 是 $X$ 的非空凸集，且 $M$ 在 $X$ 诱导的度量下完备。则对任意 $x_0\in X$，存在唯一的 $y_0\in M$，使得 $$\rho (x_0,M)=\underset{y\in M}{\inf }\Vert x_0-y\Vert =\Vert x_0-y_0\Vert .$$

特别地，若 $X$ 是 Hilbert 空间，$M$ 是 $X$ 的闭凸集（例如闭线性子空间），则上述结论成立。

定理（正交分解定理）

设 $H$ 是 Hilbert 空间，$M$ 是 $H$ 的闭线性子空间。则对任意 $x\in H$，存在唯一的 $y\in M$ 和 $z\in M^{\perp }$，使得 $x=y+z$。即 $H=M\oplus M^{\perp }$（直和）。

同时，$y$ 是 $x$ 在 $M$ 上的最佳逼近元：$\Vert x-y\Vert =\rho (x,M)$，且 $z=x-y\perp M$。

正交投影

设 $H$ 是 Hilbert 空间，$M$ 是 $H$ 的闭子空间。定义映射 $P_M:H\to M$，$P_M(x)=y$，其中 $y$ 是 $x$ 在 $M$ 上的唯一最佳逼近元（正交分解中的分量）。称 $P_M$ 为 $H$ 到 $M$ 上的正交投影算子。

性质：

• $P_M$ 是有界线性算子，且 $\Vert P_M\Vert \le 1$，当 $M\ne \{0\}$ 时 $\Vert P_M\Vert =1$。
• $P_M^2=P_M$（幂等）。
• $R(P_M)=M$，$N(P_M)=M^{\perp }$。
• $(M^{\perp }{)}^{\perp }=M$。
• 若 $M$ 是 $X$ 的非空子集，则 $(\mathrm{span}M{)}^{\perp }=M^{\perp }=(\overline{M}{)}^{\perp }$。

完全集

设 $X$ 是赋范空间，$M\subseteq X$。若 $\overline{\mathrm{span}M}=X$，则称 $M$ 为 $X$ 的完全集（即其线性张成稠密）。

定理：在 Hilbert 空间 $H$ 中，$M$ 为完全集 $⟺M^{\perp }=\{0\}$。

标准正交集与标准正交基

定义（标准正交集）

设 $X$ 是内积空间，集合 $M\subseteq X$ 称为标准正交集，如果满足：

• 对任意 $e\in M$，$\Vert e\Vert =1$；
• 对任意 $e_1,e_2\in M$，$e_1\ne e_2$，有 $⟨e_1,e_2⟩=0$。

若 $M$ 可数，则称其为标准正交序列；若 $M$ 有限，则称其为标准正交组。

标准正交集是线性无关集。

Bessel 不等式

设 $\{e_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 是内积空间 $X$ 中的标准正交序列，则对任意 $x\in X$， $$\sum _{n=1}^{\infty }|⟨x,e_n⟩{|}^2\le \Vert x{\Vert }^2.$$

定义（标准正交基）

设 $H$ 是 Hilbert 空间，$M$ 是 $H$ 的标准正交集。若 $\overline{\mathrm{span}M}=H$，则称 $M$ 为 $H$ 的一个标准正交基（或完全的标准正交集）。

定理（标准正交基的等价刻画）

设 $H$ 是 Hilbert 空间，$M$ 是 $H$ 的标准正交集，则以下条件等价：

1. $M$ 是 $H$ 的标准正交基；
2. 对任意 $x\in H$，有 $x={\sum }_{e\in M}⟨x,e⟩e$（级数按范数收敛，且至多可数项非零）；
3. 对任意 $x,y\in H$，有 $⟨x,y⟩={\sum }_{e\in M}⟨x,e⟩\overline{⟨y,e⟩}$；
4. 对任意 $x\in H$，有 $\Vert x{\Vert }^2={\sum }_{e\in M}|⟨x,e⟩{|}^2$（Parseval 等式）。

当 $H$ 可分时，标准正交基至多是可数的。

Gram-Schmidt 正交化方法

设 $\{x_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 是内积空间 $X$ 中的线性无关序列，则存在标准正交序列 $\{e_n{\}}_{n=1}^{\infty }$，使得对每个 $n$， $$\mathrm{span}\{x_1,\dots ,x_n\}=\mathrm{span}\{e_1,\dots ,e_n\}.$$ 构造公式： $$u_1=x_1,e_1=\frac{u_1}{\Vert u_1\Vert },$$ $$u_n=x_n-\sum _{k=1}^{n-1}⟨x_n,e_k⟩e_k,e_n=\frac{u_n}{\Vert u_n\Vert },n\ge 2.$$

定理（可分 Hilbert 空间的结构）

每个可分的无穷维 Hilbert 空间 $H$ 都与 ${\ell }^2$ 等距同构。具体地，若 $\{e_n\}$ 是 $H$ 的一个标准正交基，则映射 $T:H\to {\ell }^2$ 定义为 $T(x)=(⟨x,e_n⟩{)}_{n=1}^{\infty }$ 是一个等距同构。

Hilbert 空间上有界线性泛函的表示

Riesz 表示定理

设 $H$ 是 Hilbert 空间，$f\in H^{\prime }$（$H$ 上的有界线性泛函）。则存在唯一的 $y\in H$，使得对任意 $x\in H$， $$f(x)=⟨x,y⟩,$$ 并且 $\Vert f\Vert =\Vert y\Vert$。

共轭双线性泛函

设 $X,Y$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，映射 $h:X\times Y\to \mathbb{K}$ 称为共轭双线性泛函，如果：

• 对第一个变量线性：$h(x_1+x_2,y)=h(x_1,y)+h(x_2,y)$，$h(\alpha x,y)=\alpha h(x,y)$；
• 对第二个变量共轭线性：$h(x,y_1+y_2)=h(x,y_1)+h(x,y_2)$，$h(x,\alpha y)=\overline{\alpha }h(x,y)$。

其范数定义为： $$\Vert h\Vert =\underset{\begin{array}{c}x\ne 0\\ y\ne 0\end{array}}{\sup }\frac{|h(x,y)|}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }.$$

定理（有界共轭双线性泛函的表示）

设 $H_1,H_2$ 是 Hilbert 空间，$h:H_1\times H_2\to \mathbb{K}$ 是有界共轭双线性泛函。则存在唯一的 $T\in B(H_1,H_2)$，使得对任意 $x\in H_1,y\in H_2$， $$h(x,y)=⟨Tx,y{⟩}_{H_2},$$ 并且 $\Vert T\Vert =\Vert h\Vert$。

伴随算子

设 $H_1,H_2$ 是 Hilbert 空间，$T\in B(H_1,H_2)$。存在唯一的算子 $T^{\ast }\in B(H_2,H_1)$，称为 $T$ 的伴随算子，满足对任意 $x\in H_1,y\in H_2$， $$⟨Tx,y{⟩}_{H_2}=⟨x,T^{\ast }y{⟩}_{H_1}.$$

性质：设 $S,T\in B(H_1,H_2)$，$R\in B(H_2,H_3)$，$\alpha \in \mathbb{K}$，则

1. $(S+T{)}^{\ast }=S^{\ast }+T^{\ast }$；
2. $(\alpha T{)}^{\ast }=\overline{\alpha }{T}^{\ast }$；
3. $(T^{\ast }{)}^{\ast }=T$；
4. $\Vert T^{\ast }T\Vert =\Vert T{T}^{\ast }\Vert =\Vert T{\Vert }^2$；
5. $T^{\ast }T=0⟺T=0$；
6. $(RT{)}^{\ast }=T^{\ast }{R}^{\ast }$。

另外，正交投影算子 $P_M$ 满足 $P_M^{\ast }=P_M$（自伴）且 $P_M^2=P_M$。