内积空间和 Hilbert 空间

内积空间

内积 $⟨\cdot ,\cdot ⟩:X^2\to \mathbb{K},(x,y)\mapsto ⟨x,y⟩$，若

1. $⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$
2. $⟨\alpha x,y⟩=\alpha ⟨x,y⟩$
3. $⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$
4. $⟨x,x⟩\ge 0$
5. $⟨x,x⟩=0⟺x=0$

内积空间 序对 $(X,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 为内积空间，其中 $X$ 为线性空间，$⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 为内积

诱导范数 $\Vert x\Vert =⟨x,x{⟩}^{\frac{1}{2}}$

Hilbert 空间 $X$ 为 Hilbert 空间，若诱导范数使之成为 Banach 空间

平行四边形恒等式 $\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2$

极化恒等式

• $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 时，$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)$
• $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ 时，$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)+\frac{i}{4}(\Vert x+iy{\Vert }^2-\Vert x-iy{\Vert }^2)$

正交补及正交投影

正交 $x\perp y⟺⟨x,y⟩=0$

正交补 $M^{\perp }=\{x\in X:\forall y\in M,⟨x,y⟩=0\}$

凸集 $M\subset X$ 为凸集，若 $\forall x,y\in M,\forall \alpha \in [0,1],\alpha x+(1-\alpha )y\in M$

设 $X$ 为内积空间，$M$ 为非空凸集，且 $X$ 在 $M$ 上诱导度量使之成为完备空间，则任给 $x_0\in X,\exists !y_0\in M,\rho (x_0,M)=\Vert x_0-y_0\Vert$

• 若 $X$ 为 Hilbert 空间，可设 $M$ 为非空凸闭集
• 若 $X$ 为内积空间，可设 $M$ 为完备线性子空间

直和 $X=M\oplus N⟺X=\mathrm{span}(M\cup N)$ 且 $M\cap N=\{0\},\forall x\in X,\exists !m\in M,n\in N,x=m+n$

正交分解定理 设 $H$ 为 Hilbert 空间，$M$ 为 $H$ 的闭线性子空间，则 $H=M\oplus M^{\perp }$

正交投影 $P_M:H\to M$，$x\mapsto y$，$\Vert x-y\Vert =\rho (x,M)$

设 $H$ 为 Hilbert 空间，$M$ 为 $H$ 的闭子空间，则

1. $P_M$ 为有界线性算子，且 $\Vert P_M\Vert \le 1$
2. $P_M^2=P_M$
3. $R(P_M)=M,N(P_M)=M^{\perp }$

设 $H$ 为 Hilbert 空间，$M$ 为 $H$ 的闭子空间，则 $(M^{\perp }{)}^{\perp }=M$

设 $X$ 为内积空间，$M$ 为 $X$ 的非空子集，则 $(\mathrm{span}(M){)}^{\perp }=M^{\perp }=(\overline{M}{)}^{\perp }$

完全集 $M\subset X$ 为完全集，若 $\mathrm{span}(M)$ 在赋范空间 $X$ 中稠密

设 $H$ 为 Hilbert 空间，$M$ 为非空子集，则 $M$ 为完全集 $⟺M^{\perp }=\{0\}$

标准正交集与标准正交基

标准正交集 $M\subset X$ 为标准正交集，若 $M$ 线性无关且 $\forall x,y\in M,⟨x,y⟩=0,\Vert x\Vert =\Vert y\Vert =1$

标准正交序列 若标准正交集为可数集，则称之为标准正交序列

标准正交组 若标准正交集为有限集，则称之为标准正交组

Bessel 不等式 $\sum _{i=1}^{\infty }|⟨x,e_i⟩{|}^2\le \Vert x{\Vert }^2$

标准正交基 $M$ 为标准正交基，若 $M$ 为内积空间 $H$ 的标准正交集且 $\overline{\mathrm{span}(M)}=H$

设 $M$ 为内积空间 $H$ 的标准正交集，则下述命题相互等价

1. $M$ 为 $H$ 的标准正交基
2. $\forall x\in H,x=\sum _{e\in M}^{\infty }⟨x,e⟩e$
3. $\forall x,y\in H,⟨x,y⟩=\sum _{e\in M}^{\infty }⟨x,e⟩⟨e,y⟩$
4. $\forall x\in H,\Vert x{\Vert }^2=\sum _{e\in M}^{\infty }|⟨x,e⟩{|}^2$（Parseval 等式）

Gram-Schmidt 标准正交化方法 设 $\{x_1,x_2,\cdots \}$ 为内积空间 $X$ 的一列线性无关元素，则存在 $\{e_1,2_2,\cdots \}$ 为标准正交序列，使得任给 $n\ge 1$，有 $\mathrm{span}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\mathrm{span}(e_1,e_2,\cdots ,e_n)$

Hilbert 空间上有界线性泛函的表示

Riesz 表示定理 若 $H$ 为 Hilbert 空间，则任取 $f\in H^{\prime }$，$\exists !y\in H,\forall x\in H,f(x)=⟨x,y⟩$

共轭双线性泛函 $h:X\times Y\to \mathbb{K}$，若

1. $h(x_1+x_2,y)=h(x_1,y)+h(x_2,y)$
2. $\forall \alpha \in \mathbb{K},h(\alpha x,y)=\alpha h(x,y)$
3. $h(x,y_1+y_2)=h(x,y_1)+h(x,y_2)$
4. $\forall \alpha \in \mathbb{K},h(x,\alpha y)=\overline{\alpha }h(x,y)$

共轭双线性泛函的范数 $\Vert h\Vert =\underset{x\ne 0,y\ne 0}{\sup }\frac{|h(x,y)|}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }$

Riesz 定理 设 $H_1,H_2$ 为 Hilbert 空间，$h:H_1\times H_2\to \mathbb{K}$ 为有界共轭双线性泛函，则存在唯一的 $T\in B(H_1,H_2)$，使得 $\forall x\in H_1,y\in H_2,h(x,y)=⟨T(x),y⟩$，此时 $\Vert T\Vert =\Vert h\Vert$

伴随算子 $T^{\ast }:H_2\to H_1$，$y\mapsto x$，$\forall x\in H_1,y\in H_2,⟨T(x),y⟩=⟨x,T^{\ast }(y)⟩$

伴随算子的性质 设 $H_1,H_2$ 为 Hilbert 空间，$S，T\in B(H_1,H_2)$，$\alpha \in \mathbb{K}$，则

1. $(S+T{)}^{\ast }=S^{\ast }+T^{\ast }$
2. $(\alpha S{)}^{\ast }=\overline{\alpha }{S}^{\ast }$
3. $(T^{\ast }{)}^{\ast }=T$
4. $\Vert T^{\ast }T\Vert =\Vert T{T}^{\ast }\Vert =\Vert T{\Vert }^2$
5. $T^{\ast }T=0⟺T=0$
6. 若 $H_3$ 为 Hilbert 空间，$P\in B(H_2,H_3)$，则 $(PT{)}^{\ast }=T^{\ast }{P}^{\ast }$