习题 4.42

设 $X$ 为严格凸赋范空间. 求证: 任取 $x,y\in X$ 满足 $\Vert x\Vert =\Vert y\Vert =1,x\ne y$ 及 $0<\lambda <1$, 均有 $\Vert \lambda x+(1-\lambda )y\Vert <1$ 成立.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明 设 $X$ 为严格凸赋范空间，即对任意满足 $\Vert u\Vert =\Vert v\Vert =1$ 且 $u\ne v$ 的 $u,v\in X$ 均有 $$\Vert \frac{u+v}{2}\Vert <1.$$

任取 $x,y\in X$ 满足 $\Vert x\Vert =\Vert y\Vert =1$, $x\ne y$ 以及 $\lambda \in (0,1)$．欲证 $\Vert \lambda x+(1-\lambda )y\Vert <1$.

采用反证法．假设存在 ${\lambda }_0\in (0,1)$ 使得 $$\Vert {\lambda }_{0}x+(1-{\lambda }_0)y\Vert =1.$$ 定义函数 $\phi :[0,1]\to \mathbb{R}$ 为 $$\phi (t)=\Vert tx+(1-t)y\Vert .$$ 范数是凸函数，故 $\phi$ 是凸函数，且 $\phi (0)=\Vert y\Vert =1$, $\phi (1)=\Vert x\Vert =1$.

由凸性，对任意 $t_1,t_2\in [0,1]$ 及 $\alpha \in [0,1]$ 有 $$\phi (\alpha t_1+(1-\alpha )t_2)\le \alpha \phi (t_1)+(1-\alpha )\phi (t_2).$$

现在 $\phi ({\lambda }_0)=1$．我们断言：此时必有 $\phi (t)=1$ 对所有 $t\in [0,1]$ 成立．若不然，存在 $t^{\prime }\in [0,1]$ 使得 $\phi (t^{\prime })<1$. 分两种情况讨论．

• 情形一：$t^{\prime }\in [0,{\lambda }_0)$．取 $\mu =\frac{1-{\lambda }_0}{1-t^{\prime }}\in (0,1)$，则 ${\lambda }_0=\mu t^{\prime }+(1-\mu )\cdot 1$. 由凸性， $$\phi ({\lambda }_0)\le \mu \phi (t^{\prime })+(1-\mu )\phi (1)=\mu \phi (t^{\prime })+(1-\mu )\cdot 1.$$ 因为 $\phi (t^{\prime })<1$ 且 $\mu >0$，右端 $<\mu \cdot 1+(1-\mu )\cdot 1=1$，从而 $\phi ({\lambda }_0)<1$，矛盾．

• 情形二：$t^{\prime }\in ({\lambda }_0,1]$．取 $\mu =\frac{{\lambda }_0}{t^{\prime }}\in (0,1)$，则 ${\lambda }_0=\mu t^{\prime }+(1-\mu )\cdot 0$. 由凸性， $$\phi ({\lambda }_0)\le \mu \phi (t^{\prime })+(1-\mu )\phi (0)=\mu \phi (t^{\prime })+(1-\mu )\cdot 1.$$ 同理，右端 $<1$，导致 $\phi ({\lambda }_0)<1$，矛盾．

因此 $\phi (t)=1$ 对所有 $t\in [0,1]$ 成立．特别地，取 $t=\frac{1}{2}$ 得 $$\Vert \frac{x+y}{2}\Vert =1,$$ 但这与严格凸的定义（$x\ne y$ 时中点范数应严格小于 $1$）矛盾．

故假设不成立，从而对任意 $\lambda \in (0,1)$ 均有 $$\Vert \lambda x+(1-\lambda )y\Vert <1.$$

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