习题 4.43

设 $X$ 为严格凸赋范空间. 求证: 如果 $X$ 的非零元 $x,y$ 满足 $\Vert x+y\Vert =\Vert x\Vert +$ $\Vert y\Vert$, 则必存在正数 $c$, 使得 $x=cy$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

由于 $x,y\ne 0$ 且 $\Vert x+y\Vert =\Vert x\Vert +\Vert y\Vert >0$，故 $x+y\ne 0$。由 Hahn-Banach 定理，存在 $f\in X^{\ast }$ 使得 $\Vert f\Vert =1$ 且 $$f(x+y)=\Vert x+y\Vert .$$ 利用条件得 $$f(x)+f(y)=\Vert x\Vert +\Vert y\Vert .$$ 又由 $|f(x)|\le \Vert f\Vert \Vert x\Vert =\Vert x\Vert$，$|f(y)|\le \Vert y\Vert$，故 $$\Vert x\Vert +\Vert y\Vert =|f(x)+f(y)|\le |f(x)|+|f(y)|\le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert ,$$ 从而等号处处成立。因此 $$|f(x)|=\Vert x\Vert ,|f(y)|=\Vert y\Vert ,$$ 且 $|f(x)+f(y)|=|f(x)|+|f(y)|$，这表明复数 $f(x)$ 与 $f(y)$ 同向（即存在 $\lambda \ge 0$ 使 $f(y)=\lambda f(x)$）。结合 $f(x)+f(y)=\Vert x\Vert +\Vert y\Vert >0$ 可知 $f(x)$ 与 $f(y)$ 均为正实数，故 $$f(x)=\Vert x\Vert ,f(y)=\Vert y\Vert .$$

令 $u=\frac{x}{\Vert x\Vert }$, $v=\frac{y}{\Vert y\Vert }$，则 $\Vert u\Vert =\Vert v\Vert =1$ 且 $f(u)=1$, $f(v)=1$。若 $u\ne v$，则由 $X$ 的严格凸性有 $$\Vert \frac{u+v}{2}\Vert <1.$$ 但 $f\left(\frac{u+v}{2}\right)=\frac{f(u)+f(v)}{2}=1$，且 $\Vert f\Vert =1$，故 $$1=\left|f\right(\frac{u+v}{2}\left)\right|\le \Vert f\Vert \Vert \frac{u+v}{2}\Vert =\Vert \frac{u+v}{2}\Vert ,$$ 从而 $\Vert \frac{u+v}{2}\Vert \ge 1$，矛盾。因此必有 $u=v$，即 $$\frac{x}{\Vert x\Vert }=\frac{y}{\Vert y\Vert }.$$ 取 $c=\frac{\Vert x\Vert }{\Vert y\Vert }>0$，即得 $x=cy$。