习题 4.44

设 $X$ 为赋范空间, 假设任取 $X$ 的非零元 $x,y$ 满足 $\Vert x+y\Vert =\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$, 必存在正数 $c$, 使得 $x=cy$. 求证: $X$ 为严格凸的.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

要证 $X$ 是严格凸的, 按定义需证：对任意 $x,y\in X$, $\Vert x\Vert =\Vert y\Vert =1$ 且 $x\ne y$, 必有 $\Vert \frac{x+y}{2}\Vert <1$.

采用反证法. 若 $X$ 不是严格凸的, 则存在 $x_0,y_0\in X$, $\Vert x_0\Vert =\Vert y_0\Vert =1$, $x_0\ne y_0$, 但 $\Vert \frac{x_0+y_0}{2}\Vert =1$.
由范数的正齐次性, $2\Vert \frac{x_0+y_0}{2}\Vert =\Vert x_0+y_0\Vert$, 故 $\Vert x_0+y_0\Vert =2$. 而 $\Vert x_0\Vert +\Vert y_0\Vert =1+1=2$, 所以 $$\Vert x_0+y_0\Vert =\Vert x_0\Vert +\Vert y_0\Vert .$$ $x_0,y_0$ 均为非零元, 由题目条件, 存在正数 $c$ 使得 $x_0=c{y}_0$.
两边取范数得 $\Vert x_0\Vert =c\Vert y_0\Vert$, 即 $1=c\cdot 1$, 所以 $c=1$. 于是 $x_0=y_0$, 与 $x_0\ne y_0$ 矛盾.

因此假设不成立, $X$ 是严格凸的. $\square$