习题 4.45

求证: Chebyshev 多项式 $T_n$ 是微分方程 $$\left(1-t^2\right)y^{\prime \prime }-t{y}^{\prime }+n^{2}y=0$$ 的一个解.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

令 $t=\cos \theta$，其中 $\theta =\arccos t$，则切比雪夫多项式定义为 $T_n(t)=\cos (n\theta )$。
计算关于 $t$ 的一阶和二阶导数（利用参数 $\theta$）：

• $\frac{d{T}_n}{d\theta }=-n\sin (n\theta )$,
  $\frac{dt}{d\theta }=-\sin \theta$，

故
$$T_n^{\prime }=\frac{d{T}_n}{dt}=\frac{d{T}_n/d\theta }{dt/d\theta }=\frac{-n\sin (n\theta )}{-\sin \theta }=\frac{n\sin (n\theta )}{\sin \theta }.$$

• 再求二阶导数： $$T_n^{\prime \prime }=\frac{d}{d\theta }\left(T_n^{\prime }\right)/\frac{dt}{d\theta }.$$ 先计算
  $$\frac{d}{d\theta }\left(\frac{n\sin (n\theta )}{\sin \theta }\right)=n\frac{n\cos (n\theta )\sin \theta -\sin (n\theta )\cos \theta }{{\sin }^2\theta },$$ 于是
  $$T_n^{\prime \prime }=\frac{n\frac{n\sin \theta \cos (n\theta )-\sin (n\theta )\cos \theta }{{\sin }^2\theta }}{-\sin \theta }=-\frac{n(n\sin \theta \cos (n\theta )-\sin (n\theta )\cos \theta )}{{\sin }^3\theta }.$$ 整理得
  $$T_n^{\prime \prime }=-\frac{n^2\cos (n\theta )}{{\sin }^2\theta }+\frac{n\sin (n\theta )\cos \theta }{{\sin }^3\theta }.$$

现在代入微分方程
$$(1-t^2)y^{\prime \prime }-t{y}^{\prime }+n^{2}y=0.$$ 注意到 $1-t^2=1-{\cos }^2\theta ={\sin }^2\theta$，并利用上面求得的 $T_n$, $T_n^{\prime }$, $T_n^{\prime \prime }$：

$$\begin{array}{rl}(1-t^2)T_n^{\prime \prime }& ={\sin }^2\theta \left(-\frac{n^2\cos (n\theta )}{{\sin }^2\theta }+\frac{n\sin (n\theta )\cos \theta }{{\sin }^3\theta }\right)=-n^2\cos (n\theta )+\frac{n\sin (n\theta )\cos \theta }{\sin \theta },\\ -t{T}_n^{\prime }& =-\cos \theta \cdot \frac{n\sin (n\theta )}{\sin \theta }=-\frac{n\sin (n\theta )\cos \theta }{\sin \theta },\\ n^2{T}_n& =n^2\cos (n\theta ).\end{array}$$

将三项相加： $$\left(-n^2\cos (n\theta )+\frac{n\sin (n\theta )\cos \theta }{\sin \theta }\right)+\left(-\frac{n\sin (n\theta )\cos \theta }{\sin \theta }\right)+n^2\cos (n\theta )=0.$$

因此 $T_n(t)$ 满足给定的微分方程。$\square$