习题 4.46

求证: Chebyshev 多项式 $T_n$ 的所有零点均是实数, 总在 $[-1,1]$ 中, 且均为单重的.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：设 $T_n(x)$ 是第一类 Chebyshev 多项式，它满足递推关系
$$T_0(x)=1,T_1(x)=x,T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x).$$ 由归纳法可验证恒等式
$$T_n(\cos \theta )=\cos (n\theta ),\forall \theta \in \mathbb{R}.$$

令 $T_n(x)=0$，并设 $x=\cos \theta$，则 $\cos (n\theta )=0$，从而
$$n\theta =\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z},$$ 即
$$\theta =\frac{(2k+1)\pi }{2n},k\in \mathbb{Z}.$$ 取 $k=0,1,\dots ,n-1$，得到 $n$ 个不同的 ${\theta }_k\in (0,\pi )$，对应的
$$x_k=\cos {\theta }_k$$ 是实数且 $|x_k|\le 1$。直接计算得
$$T_n(x_k)=\cos (n{\theta }_k)=\cos \left(\frac{(2k+1)\pi }{2}\right)=0,$$ 故每个 $x_k$ 都是 $T_n$ 的零点。

由于 $T_n$ 是 $n$ 次多项式，它至多有 $n$ 个零点（计重数）。现已经找到 $n$ 个互异的实零点，因此这些就是 $T_n$ 的全部零点，且每个都是单重的。

综上所述，Chebyshev 多项式 $T_n$ 的所有零点均为实数，全在区间 $[-1,1]$ 中，且均为单重零点。$\square$