习题 4.47

求证: Chebyshev 多项式 $T_n$ 与 $T_{n-1}$ 没有公共零点.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：设 $T_n$ 是第一类切比雪夫多项式，由递推关系定义： $$T_0(x)=1,T_1(x)=x,T_n(x)=2x{T}_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)(n\ge 2).$$ （此递推可由三角恒等式 $\cos n\theta =2\cos \theta \cos (n-1)\theta -\cos (n-2)\theta$ 得到。）

当 $n=1$ 时，$T_0(x)=1$ 无零点，故 $T_1$ 与 $T_0$ 显然没有公共零点。

现设 $n\ge 2$。假设存在 $x_0$ 使得 $T_n(x_0)=0$ 且 $T_{n-1}(x_0)=0$。由递推关系 $$T_n(x_0)=2x_0{T}_{n-1}(x_0)-T_{n-2}(x_0),$$ 代入假设得 $0=2x_0\cdot 0-T_{n-2}(x_0)$，即 $T_{n-2}(x_0)=0$。

重复此过程：利用 $T_{n-1}(x_0)=0$ 和 $T_{n-2}(x_0)=0$，由递推关系 $$T_{n-1}(x_0)=2x_0{T}_{n-2}(x_0)-T_{n-3}(x_0)$$ 可得 $0=2x_0\cdot 0-T_{n-3}(x_0)$，故 $T_{n-3}(x_0)=0$。依次类推，最终可得到 $T_1(x_0)=0$ 且 $T_0(x_0)=0$。但 $T_0(x)=1$ 恒不为零，矛盾。

因此假设不成立，故对任意 $n\ge 1$，$T_n$ 与 $T_{n-1}$ 没有公共零点。