习题 4.48

设区间 $[a,b]$ 的分划 $P_n$ 的结点为 $a=t_0<t_1<\cdots <t_n=b$. 求证: 存在唯一的 $n+1$ 个三次样条 $y_0,y_1,\cdots ,y_n$, 使得 $$y_i\left(t_k\right)={\delta }_{ik},y_i^{\prime }(a)=y_i^{\prime }(b)=0,(0\le i,k\le n).$$ 问: $\left\{y_0,y_1,\cdots ,y_n\right\}$ 在线性空间 $Y\left(P_n\right)$ 中线性无关吗?

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：
设分划 $P_n:a=t_0<t_1<\cdots <t_n=b$，记 $h_i=t_i-t_{i-1}>0(i=1,\dots ,n)$。考虑满足边界条件 $y^{\prime }(a)=y^{\prime }(b)=0$ 的三次样条函数全体构成的线性空间
$$Y=\{y\in C^2[a,b]\mid y{|}_{[t_{i-1},t_i]}\text{是三次多项式},i=1,\dots ,n,y^{\prime }(a)=y^{\prime }(b)=0\}.$$

对任意给定的数组 $(f_0,\dots ,f_n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}$，我们欲寻找 $S\in Y$ 使得 $S(t_i)=f_i$。令 $M_i=S^{\prime \prime }(t_i)(i=0,\dots ,n)$。利用分段三次 Hermite 插值公式，在区间 $[t_{i-1},t_i]$ 上可表示为
$$S(x)=M_{i-1}\frac{(t_i-x{)}^3}{6h_i}+M_i\frac{(x-t_{i-1}{)}^3}{6h_i}+(f_{i-1}-\frac{M_{i-1}{h}_i^2}{6})\frac{t_i-x}{h_i}+(f_i-\frac{M_i{h}_i^2}{6})\frac{x-t_{i-1}}{h_i}.\text{\hspace{1em}(1)}$$
计算导数并利用一阶导数在内部结点连续及边界条件 $S^{\prime }(a)=S^{\prime }(b)=0$，可得关于 $M_i$ 的线性方程组：
$$\{\begin{array}{l}2h_1{M}_0+h_1{M}_1=6\frac{f_1-f_0}{h_1},\\ h_i{M}_{i-1}+2(h_i+h_{i+1})M_i+h_{i+1}{M}_{i+1}=6(\frac{f_{i+1}-f_i}{h_{i+1}}-\frac{f_i-f_{i-1}}{h_i}),i=1,\dots ,n-1,\\ h_n{M}_{n-1}+2h_n{M}_n=-6\frac{f_n-f_{n-1}}{h_n}.\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
该方程组的系数矩阵为 $(n+1)\times (n+1)$ 三对角矩阵。由于 $h_i>0$，容易验证矩阵是严格对角占优的：

• 第一行对角元 $2h_1$，非对角元之和为 $h_1$，故 $2h_1>h_1$；
• 内部第 $i$ 行对角元 $2(h_i+h_{i+1})$，非对角元之和 $h_i+h_{i+1}$，故 $2(h_i+h_{i+1})>h_i+h_{i+1}$；
• 最后一行对角元 $2h_n$，非对角元之和 $h_n$，故 $2h_n>h_n$。

严格对角占优矩阵可逆，因此方程组 (2) 对任意右端项有唯一解 $M_0,\dots ,M_n$。将解代入 (1) 即得满足要求的唯一三次样条 $S$。

特别地，取 $f_k={\delta }_{ik}$（$i$ 固定，$k=0,\dots ,n$），则存在唯一的 $y_i\in Y$ 使得
$$y_i(t_k)={\delta }_{ik},y_i^{\prime }(a)=y_i^{\prime }(b)=0.$$
这就证明了符合条件的三次样条 $y_0,y_1,\dots ,y_n$ 存在且唯一。

线性无关性：考虑集合 $\{y_0,y_1,\dots ,y_n\}\subset Y$（若 $Y(P_n)$ 表示更大的三次样条空间，结论同样成立）。设 ${\sum }_{i=0}^n{\alpha }_i{y}_i=0$（零函数），则对任意结点 $t_k$ 有
$$0=\sum _{i=0}^n{\alpha }_i{y}_i(t_k)=\sum _{i=0}^n{\alpha }_i{\delta }_{ik}={\alpha }_k,$$
从而 ${\alpha }_k=0(k=0,\dots ,n)$。故 $\{y_0,y_1,\dots ,y_n\}$ 线性无关。