习题 4.49

若区间 $[a,b]$ 上的三次样条 $y$ 为三阶连续可导函数, 求证: $y$ 必为多项式.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明
设 $y$ 是区间 $[a,b]$ 上的三次样条函数。即存在划分 $$a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b,$$ 使得 $y$ 在每个子区间 $(x_i,x_{i+1})$ 上为次数不超过 $3$ 的多项式，且 $y\in C^2[a,b]$（二阶导数连续）。又已知 $y\in C^3[a,b]$（三阶导数连续）。

1. 三阶导数为常数
   在每个开区间 $(x_i,x_{i+1})$ 上，$y$ 是三次多项式，故其三阶导数 $y^{\prime \prime \prime }$ 在该区间上为常数，记作 $c_i$。由于 $y^{\prime \prime \prime }$ 在 $[a,b]$ 上连续，特别地在节点 $x_i$ 处有 $$\underset{x\to x_i^{-}}{\lim }{y}^{\prime \prime \prime }(x)=\underset{x\to x_i^{+}}{\lim }{y}^{\prime \prime \prime }(x)=y^{\prime \prime \prime }(x_i).$$ 左极限等于 $c_{i-1}$，右极限等于 $c_i$，因此 $c_{i-1}=c_i$。递推可得所有 $c_i$ 相等，记公共常数为 $C$。从而在整个 $[a,b]$ 上 $$y^{\prime \prime \prime }\equiv C.\text{\hspace{1em}(1)}$$

2. 二阶导数为线性函数
   由 (1) 式积分，在 $(x_i,x_{i+1})$ 上有 $$y^{\prime \prime }(x)=Cx+d_i,$$ 其中 $d_i$ 为常数。因 $y^{\prime \prime }$ 连续，在节点 $x_i$ 处满足 $$C{x}_i+d_{i-1}=C{x}_i+d_i,$$ 故 $d_{i-1}=d_i$。于是所有 $d_i$ 相等，记公共常数为 $D$。因此 $$y^{\prime \prime }(x)=Cx+D,\forall x\in [a,b].\text{\hspace{1em}(2)}$$

3. 一阶导数和函数本身为多项式
   对 (2) 积分，并利用 $y^{\prime }$ 的连续性可得 $y^{\prime }$ 在整个 $[a,b]$ 上为二次多项式；再积分一次并利用 $y$ 的连续性可得 $y$ 为三次多项式（若 $C\ne 0$）或更低次多项式。总之，$y$ 在 $[a,b]$ 上是一个多项式。

综上，若三次样条 $y$ 具有连续的三阶导数，则 $y$ 必为多项式。∎