习题 4.50

在 $[a,b]$ 的相邻子区间上, 样条函数用同一个多项式来表示是可能的, 试举例说明. 对应于区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 的分划 $\left\{-\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2}\right\}$, 求 $x(t)=\sin (t)$ 的满足条件 (4.47) 及(4.51) 的三次样条函数 $y$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

第一部分：举例说明

在区间 $[0,1]$ 上取分划 $\{0,\frac{1}{2},1\}$，定义函数
$$s(t)=t,t\in [0,1].$$
$s$ 在每个子区间 $[0,\frac{1}{2}]$ 和 $[\frac{1}{2},1]$ 上都是同一个一次多项式 $s(t)=t$。它属于 $C^2[0,1]$（其二阶导数恒为零），因此是一个三次样条函数（一次多项式可视为三次多项式的特例）。这说明样条函数在相邻子区间上可以用同一个多项式表示。

第二部分：求样条函数 $y$

考虑区间 $I=[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，分划 $t_0=-\frac{\pi }{2},t_1=0,t_2=\frac{\pi }{2}$，函数 $x(t)=\sin t$。按教材条件，

• (4.47) 为 插值条件：$y(t_i)=x(t_i),i=0,1,2$；
• (4.51) 为 自然边界条件：$y^{\prime \prime }(t_0)=y^{\prime \prime }(t_2)=0$。
  同时 $y$ 是三次样条，即 $y\in C^2(I)$ 且在每一子区间上为三次多项式。

设在 $[-\frac{\pi }{2},0]$ 上 $y_1(t)=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2+a_3{t}^3$，
在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上 $y_2(t)=b_0+b_{1}t+b_2{t}^2+b_3{t}^3$。

1. 插值条件
$$\begin{array}{rlrl}{y}_1(-\frac{\pi }{2})& =\sin (-\frac{\pi }{2})=-1,& & (1)\\ y_1(0)& =0,& & (2)\\ y_2(0)& =0,& & (3)\\ y_2(\frac{\pi }{2})& =\sin (\frac{\pi }{2})=1.& & (4)\end{array}$$

2. 连续性条件
$$y_1^{\prime }(0)=y_2^{\prime }(0),y_1^{\prime \prime }(0)=y_2^{\prime \prime }(0).\text{\hspace{1em}(5,6)}$$

3. 自然边界条件
$$y_1^{\prime \prime }(-\frac{\pi }{2})=0,y_2^{\prime \prime }(\frac{\pi }{2})=0.\text{\hspace{1em}(7,8)}$$

求解未知系数
由 (2)、(3) 得 $a_0=0$, $b_0=0$。

导数表达式：
$y_1^{\prime }(t)=a_1+2a_{2}t+3a_3{t}^2$, $y_2^{\prime }(t)=b_1+2b_{2}t+3b_3{t}^2$；
$y_1^{\prime \prime }(t)=2a_2+6a_{3}t$, $y_2^{\prime \prime }(t)=2b_2+6b_{3}t$。

由 (5)：$a_1=b_1$；由 (6)：$2a_2=2b_2\Rightarrow a_2=b_2$。

令 $a_1=b_1=\alpha$, $a_2=b_2=\beta$。

条件 (7)：$2\beta +6a_3(-\frac{\pi }{2})=2\beta -3\pi a_3=0\Rightarrow a_3=\frac{2\beta }{3\pi }$。
条件 (8)：$2\beta +6b_3(\frac{\pi }{2})=2\beta +3\pi b_3=0\Rightarrow b_3=-\frac{2\beta }{3\pi }$。

将 $a_0,b_0,a_3,b_3$ 代入 (1) 和 (4)：

(1) $y_1(-\frac{\pi }{2})=-\frac{\pi }{2}\alpha +\frac{{\pi }^2}{4}\beta -\frac{{\pi }^3}{8}{a}_3=-1$
代入 $a_3$：$-\frac{\pi }{2}\alpha +\frac{{\pi }^2}{4}\beta -\frac{{\pi }^3}{8}\cdot \frac{2\beta }{3\pi }=-\frac{\pi }{2}\alpha +\frac{{\pi }^2}{4}\beta -\frac{{\pi }^2\beta }{12}=-1$，
合并 $\beta$ 项：$\frac{{\pi }^2}{4}-\frac{{\pi }^2}{12}=\frac{{\pi }^2}{6}$，得
$$-\frac{\pi }{2}\alpha +\frac{{\pi }^2}{6}\beta =-1.\text{\hspace{1em}(A)}$$

(4) $y_2(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}\alpha +\frac{{\pi }^2}{4}\beta +\frac{{\pi }^3}{8}{b}_3=1$
代入 $b_3$：$\frac{\pi }{2}\alpha +\frac{{\pi }^2}{4}\beta +\frac{{\pi }^3}{8}\left(-\frac{2\beta }{3\pi }\right)=\frac{\pi }{2}\alpha +\frac{{\pi }^2}{4}\beta -\frac{{\pi }^2\beta }{12}=1$，
即
$$\frac{\pi }{2}\alpha +\frac{{\pi }^2}{6}\beta =1.\text{\hspace{1em}(B)}$$

联立 (A)、(B)：相加得 $\frac{{\pi }^2}{3}\beta =0\Rightarrow \beta =0$；代入 (B) 得 $\frac{\pi }{2}\alpha =1\Rightarrow \alpha =\frac{2}{\pi }$。
于是 $a_3=b_3=0$, $a_2=b_2=0$, $a_1=b_1=\frac{2}{\pi }$, $a_0=b_0=0$。

因此
$$y_1(t)=\frac{2}{\pi }t,y_2(t)=\frac{2}{\pi }t,$$
即在整个区间上
$$\boxed{y(t)=\frac{2}{\pi }t,t\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right].}$$

该函数显然满足所有插值、连续性和自然边界条件。由于三个节点 $(-\pi /2,-1)$, $(0,0)$, $(\pi /2,1)$ 共线，自然三次样条退化为线性函数，这也与第一部分的举例相呼应。