线性算子的谱论

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5.1 基本概念及例子

5.1.1 基本定义

设 $X$ 为非零复 Banach 空间， $D (A)$ 是 $X$ 的线性子空间， $A : D (A) \to X$ 是闭线性算子。对 $λ \in C$ ，记 $λ - A = λ I_{X} - A$ 。

特征值与点谱
$λ$ 称为 $A$ 的特征值（本征值），如果存在 $x_{0} \in D (A)$ , $x_{0} \neq = 0$ ，使得 $A x_{0} = λ x_{0}$ 。此时 $x_{0}$ 称为相应于 $λ$ 的特征向量。所有特征值组成的集合称为 $A$ 的点谱，记作 $σ_{p} (A)$ 。
正则值与预解集
若 $λ - A : D (A) \to X$ 是一一映射，则称 $λ$ 为 $A$ 的正则值。全体正则值之集称为 $A$ 的预解集，记作 $ρ (A)$ 。
注：若 $λ \in ρ (A)$ ，则 $(λ - A)^{- 1}$ 是闭算子，且由闭图像定理可知 $(λ - A)^{- 1} \in B (X)$ 。记 $R (λ, A) = (λ - A)^{- 1}$ ，称为 $A$ 的预解式。
连续谱与剩余谱
设 $λ \in / σ_{p} (A) \cup ρ (A)$ （即 $λ - A$ 是单射但不满）。
- 若 $\overline{R (λ - A)} = X$ ，则称 $λ$ 为 $A$ 的连续谱点，其全体记作 $σ_{c} (A)$ 。
- 若 $\overline{R (λ - A)} ⊊ X$ ，则称 $λ$ 为 $A$ 的剩余谱点，其全体记作 $σ_{r} (A)$ 。
谱
定义 $A$ 的谱为 $σ (A) = σ_{p} (A) \cup σ_{c} (A) \cup σ_{r} (A)$ 。
易见 $C = ρ (A) \cup σ (A)$ （不交并），且 $σ_{p} (A), σ_{c} (A), σ_{r} (A)$ 两两不交。

5.1.2 例子

例 1（乘法算子）
取 $X = C [0, 1]$ （范数 $∥ x ∥_{\infty} = max_{t \in [0, 1]} ∣ x (t) ∣$ ），定义 $(A x) (t) = t x (t)$ 。则

$σ_{p} (A) = \emptyset$ ， $σ_{c} (A) = \emptyset$ ， $σ_{r} (A) = [0, 1]$ ，
$ρ (A) = C ∖ [0, 1]$ ， $σ (A) = [0, 1]$ 。

例 2（对角算子）
取 $X = ℓ^{2}$ ，设 ${α_{n}}$ 严格单调递减趋于 $0$ ，定义
$A (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (α_{1} x_{1}, α_{2} x_{2}, α_{3} x_{3}, \dots) .$
则

$σ_{p} (A) = {α_{n} : n \geq 1}$ ，
$σ_{c} (A) = {0}$ ， $σ_{r} (A) = \emptyset$ ，
$ρ (A) = C ∖ ({α_{n}} \cup {0})$ 。

5.1.3 预解式及其性质

定义（预解式）
对 $λ \in ρ (A)$ ， $R (λ, A) = (λ - A)^{- 1} \in B (X)$ 称为 $A$ 的预解式。

定理 1（预解式等式）
对任意 $λ, μ \in ρ (A)$ ，有
$R (λ, A) - R (μ, A) = (μ - λ) R (λ, A) R (μ, A) .$

引理 1（von Neumann）
设 $A \in B (X)$ 且 $∥ A ∥ < 1$ ，则 $I - A$ 在 $B (X)$ 中可逆，且
$∥ (I - A)^{- 1} ∥ \leq \frac{1}{1 - ∥ A ∥} .$

定理 2（预解集为开集）
$ρ (A)$ 是 $C$ 的开集。从而 $σ (A)$ 是 $C$ 的闭集。

证明思路
取 $λ_{0} \in ρ (A)$ ，当 $∣ λ - λ_{0} ∣ < \frac{1}{∥ R ( λ _{0} , A ) ∥}$ 时，利用恒等式
$λ - A = (I + (λ - λ_{0}) R (λ_{0}, A)) (λ_{0} - A)$
及引理 1 证明 $I + (λ - λ_{0}) R (λ_{0}, A)$ 可逆，从而 $λ \in ρ (A)$ 。

定理 3（预解式的解析性）
映射 $λ \mapsto R (λ, A)$ 是 $ρ (A)$ 上的解析 $B (X)$ -值函数，且
$\frac{d}{d λ} R (λ, A) = - R (λ, A)^{2} .$

证明概要
利用预解式等式可得差商表达式
$\frac{R ( λ , A ) - R ( λ _{0} , A )}{λ - λ _{0}} = - R (λ, A) R (λ_{0}, A) .$
由 $R (λ, A)$ 在 $λ_{0}$ 处的连续性（由定理 2 估计）知极限存在，导数为 $- R (λ_{0}, A)^{2}$ 。

5.1.4 向量值解析函数

为表述定理 3，需引入向量值解析概念。

定义（向量值连续与解析）
设 $Ω \subset C$ 是开集， $f : Ω \to X$ 。

$f$ 在 $t_{0} \in Ω$ 连续： $\forall ε > 0, \exists δ > 0$ ，当 $∣ t - t_{0} ∣ < δ$ 时 $∥ f (t) - f (t_{0}) ∥ < ε$ 。
$f$ 在 $t_{0}$ 可导：存在 $a \in X$ ，使得
$t \to t_{0} lim \frac{f ( t ) - f ( t _{0} )}{t - t _{0}} - a = 0.$
记 $f^{'} (t_{0}) = a$ 。若 $f$ 在 $Ω$ 上处处可导，则称 $f$ 在 $Ω$ 上解析。

注若 $f$ 解析，则对任意 $ϕ \in X^{'}$ ， $ϕ \circ f$ 是通常的复解析函数。