习题 4.41

设 $X,Y$ 为赋范空间, $T:X\to Y$ 为线性算子, $S:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ 也为线性算子. 假设任取 $f\in Y^{\prime },x\in X$, 有 $S(f)(x)=f(Tx)$. 求证: $S,T$ 均为有界线性算子.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明： 设 $X,Y$ 为赋范空间，$T:X\to Y$ 与 $S:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ 均为线性算子，且满足
$$S(f)(x)=f(Tx),\forall f\in Y^{\prime },\forall x\in X.$$

1. $S$ 是有界算子

首先证明 $S$ 是闭算子。取序列 $\{f_n\}\subset Y^{\prime }$ 使得
$$f_n\stackrel{Y^{\prime }}{\to }f,S(f_n)\stackrel{X^{\prime }}{\to }g,$$ 其中 $f\in Y^{\prime }$, $g\in X^{\prime }$. 对任意 $x\in X$, 由 $S(f_n)\to g$ 在 $X^{\prime }$ 中（依范数）可知 $S(f_n)(x)\to g(x)$；由 $f_n\to f$ 在 $Y^{\prime }$ 中可知 $f_n(Tx)\to f(Tx)$. 但 $S(f_n)(x)=f_n(Tx)$, 故 $$g(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }S(f_n)(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(Tx)=f(Tx)=S(f)(x).$$ 因此 $g=S(f)$, 从而 $S$ 的图像是闭的。

由于 $Y^{\prime }$ 和 $X^{\prime }$ 均为 Banach 空间（对偶空间总是完备的），闭图像定理表明闭线性算子 $S$ 是有界的，即存在常数 $M>0$ 使得 $$\Vert S(f){\Vert }_{X^{\prime }}\le M\Vert f{\Vert }_{Y^{\prime }},\forall f\in Y^{\prime }.$$

2. $T$ 是有界算子

对任意 $x\in X$, 由 Hahn-Banach 定理， $$\Vert Tx{\Vert }_Y=\underset{\begin{array}{c}f\in Y^{\prime }\\ \Vert f\Vert \le 1\end{array}}{\sup }|f(Tx)|.$$ 利用条件 $f(Tx)=S(f)(x)$ 及 $S$ 的有界性可得 $$\begin{array}{rl}\Vert Tx{\Vert }_Y& =\underset{\Vert f\Vert \le 1}{\sup }|S(f)(x)|\le \underset{\Vert f\Vert \le 1}{\sup }\Vert S(f){\Vert }_{X^{\prime }}\Vert x{\Vert }_X\\ & \le \underset{\Vert f\Vert \le 1}{\sup }M\Vert f{\Vert }_{Y^{\prime }}\Vert x{\Vert }_X=M\Vert x{\Vert }_X.\end{array}$$ 因此 $T$ 是有界线性算子，且 $\Vert T\Vert \le M$.

综上，$S$ 和 $T$ 均为有界线性算子。$\square$