习题 40

设 $X$ 为 Banach 空间，$f_n\in X^{\prime }$，假设任取 $x\in X$，都有 $\sum _{n=1}^{\infty }|f_n(x)|<\infty$。求证：存在 $C\ge 0$，使得任取 $F\in X^{\prime \prime }$，有 $\sum _{n=1}^{\infty }|F(f_n)|\le C\Vert F\Vert$。

解答

取 ${\theta }_n\in \mathbb{K},|{\theta }_n|=1$，则 $\forall x\in X$，有

$$|(\sum _{n=1}^N{\theta }_n{f}_n)(x)|=|\sum _{n=1}^N{\theta }_n{f}_n(x)|\le \sum _{n=1}^N|{\theta }_n{f}_n(x)|\le \sum _{n=1}^{\infty }|f_n(x)|<\infty$$

故 $\forall x\in X,\underset{N,\theta }{\sup }|(\sum _{n=1}^N{\theta }_n{f}_n)(x)|<\infty$。由一致有界性原理，$\underset{N,\theta }{\sup }\Vert \sum _{n=1}^N{\theta }_n{f}_n\Vert <\infty$。

$\forall F\in X^{\prime \prime }$，有

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^N|F(f_n)|& =\sum _{n=1}^N[\mathrm{sgn}F(f_n)]F(f_n)\\ & =\sum _{n=1}^{N}F[\mathrm{sgn}F(f_n)f_n]\\ & =F\left[\sum _{n=1}^N\mathrm{sgn}F(f_n)f_n\right]\\ & \le \underset{N,\theta }{\sup }\Vert \sum _{n=1}^N{\theta }_n{f}_n\Vert \Vert F\Vert \end{array}$$

令 $N\to \infty$，则 $C=\underset{N,\theta }{\sup }\Vert \sum _{n=1}^N{\theta }_n{f}_n\Vert$ 即为所求。