2023-4

设 $y=\{y_k{\}}_{k\ge 1}$ 为一数列，又设任给 $x=\{x_k{\}}_{k\ge 1}\in c_0$，级数 $\sum _{k\ge 1}{x}_k{y}_k$ 均收敛。

1. 任给 $n\ge 1$ 及 $x=\{x_k{\}}_{k\ge 1}\in c_0$，令 $f_n(x)=\sum _{k=1}^n{x}_k{y}_k$，求证：$\{f_n\}\in (c_0{)}^{\prime }$，并求出 $\Vert f_n\Vert$。
2. 求证 $y\in {\ell }^{\infty }$