2023-5

设 $X$ 为赋范空间，$M$ 为 $X$ 的非空凸子集。给定 $x_0\notin M$，$\exists y_1\ne y_2$ 为 $M$ 中的两个最佳逼近元。求证：

1. 最佳逼近元组成凸子集
2. 存在 $z_1,z_2\in X$，$z_1\ne z_2,\Vert z_1\Vert =\Vert z_2\Vert =1$ 且 $\Vert \lambda z_1+(1-\lambda )z_2\Vert =1,\forall \lambda \in [0,1]$
3. 存在 $f\in X^{\prime },\Vert f\Vert =1,f(z_1)=f(z_2)=1$
4. $X$ 不是内积空间

解答

1. 令 $\rho =\Vert x_0-y_1\Vert =\Vert x_0-y_2\Vert$

   $\forall \lambda \in [0,1]$，

   $$\begin{gathered} \Vert x_0-[\lambda y_1+(1-\lambda y_2)]\Vert \\ =\Vert \lambda (x_0-y_1)+(1-\lambda )(x_0-y_2)\Vert \\ \le \lambda \Vert x_0-y_1\Vert +(1-\lambda )\Vert x_0-y_2\Vert \\ =\lambda \rho +(1-\lambda \rho ) \\ =\rho \end{gathered}$$

   而由于 $M$ 为凸集，故 $\lambda y_1+(1-\lambda y_2)\in M$，故 $\Vert x_0-[\lambda y_1+(1-\lambda y_2)]\Vert \ge \rho$

   因此 $\Vert x_0-[\lambda y_1+(1-\lambda y_2)]\Vert =\rho$

   故 $\lambda y_1+(1-\lambda y_2)$ 也是 $x_0$ 在 $M$ 中的最佳逼近元

   故 $x_0$ 在 $M$ 中的最佳逼近元是 $X$ 中的凸子集

2. 令 $z_1=\frac{x_0-y_1}{\rho }$，$z_2=\frac{x_0-y_2}{\rho }$。则 $\Vert z_1-z_2\Vert =\frac{1}{\rho }\Vert y_2-y_1\Vert \ne 0$，故 $z_1\ne z_2$。而

   $\Vert z_1\Vert =\Vert \frac{x_0-y_1}{\rho }\Vert =\frac{1}{\rho }\Vert x_0-y_1\Vert =\frac{1}{\rho }\rho =1$，$\Vert z_2\Vert =\cdots =1$

   $$\begin{gathered} \Vert \lambda z_1+(1-\lambda )z_2\Vert \\ =\frac{1}{\rho }\Vert \lambda (x_0-y_1)+(1-\lambda )(x_0-y_2)\Vert \\ =\frac{1}{\rho }\Vert x_0-[\lambda y_1+(1-\lambda y_2)]\Vert \\ =\frac{1}{\rho }\rho =1 \end{gathered}$$

   因此 $z_1$，$z_2$ 即为所求

3. 因为 $\Vert \frac{z_1+z_2}{2}\Vert =1$

   故由 Hahn-Banach 定理，存在 $f\in X^{\prime }$，满足 $\Vert f\Vert =1$ 且 $f\left(\frac{z_1+z_2}{2}\right)=\Vert \frac{z_1+z_2}{2}\Vert =1$

   故 $f(z_1)+f(z_2)=2$

   而 $|f(z_1)|\le \Vert f\Vert \Vert z_1\Vert =1$，$|f(z_2)|\le \Vert f\Vert \Vert z_2\Vert =1$

   令 $f(z_1)={\alpha }_1+\text{i}{\beta }_1$，$f(z_2)={\alpha }_2+\text{i}{\beta }_2$，${\alpha }_i,{\beta }_i\in \mathbb{R}$

   则 ${\alpha }_1+{\alpha }_2+\text{i}({\beta }_1+{\beta }_2)=2$，即 ${\alpha }_1+{\alpha }_2=2$，${\beta }_1+{\beta }_2=0$

   由 $|f(z_1)|\le 1$ 知 $|{\alpha }_i|\le 1$，又 ${\alpha }_1+{\alpha }_2=2$

   可知 ${\alpha }_1={\alpha }_2=1$，故 ${\beta }_1={\beta }_2=0$

   即 $f(z_1)=f(z_2)=1$

4. 内积空间需满足 $\forall x,y\in X$，均有 $\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\left(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2\right)$

   取 $x=\frac{z_1+z_2}{2}$，$y=\frac{z_1-z_2}{2}$，则 $x+y=z_1$，$x-y=z_2$

   则 $\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert z_1{\Vert }^2+\Vert z_2{\Vert }^2=1+1=2$

   而 $\Vert x\Vert =\Vert \frac{1}{2}{z}_1+\left(1-\frac{1}{2}\right)z_2\Vert =1$

   且由于 $z_1\ne z_2$，故 $\Vert y{\Vert }^2>0$，，故

   故

   $$\begin{gathered} 2\left(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2\right)=2\left(1+\Vert y{\Vert }^2\right) \\ >2(1+0)=2=\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2 \end{gathered}$$

   故平行四边形等式不成立

   故 $X$ 不为内积空间