2022-4

设 $(X_1,\Vert \cdot {\Vert }_1)$ 及 $(X_2,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ 均为赋范空间，令 $X=X_1\times X_2=\{(x_1,x_2):x_1,\in X,x_2\in X_2\}$ 为 $X_1$ 与 $X_2$ 的笛卡尔乘积。对 $x=(x_1,x_2)\in X$，定义 $\Vert x\Vert =\max \{\Vert x_1{\Vert }_1,\Vert x_2{\Vert }_2\}$，求证：

1. $\Vert \cdot \Vert$ 为 $X$ 上的范数
2. $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 为 Banach 空间当且仅当 $X_1$ 及 $X_2$ 均为 Banach 空间

解答

1. $\Vert \cdot \Vert$ 为 $X$ 上的范数

验证 $\Vert \cdot \Vert$ 为 $X$ 上的范数，只需验证 $\Vert \cdot \Vert$ 满足范数的四条性质：

1. $\Vert x\Vert =\max \{\Vert x_1{\Vert }_1,\Vert x_2{\Vert }_2\}\ge 0$，非负性显然成立
2. $\Vert x\Vert =0⟺\Vert x_1{\Vert }_1=\Vert x_2{\Vert }_2=0⟺x_1=x_2=0$，非退化性成立
3. $\Vert ax\Vert =\max \{\Vert a{x}_1{\Vert }_1,\Vert a{x}_2{\Vert }_2\}=\max \{|a|\Vert x_1{\Vert }_1,|a|\Vert x_2{\Vert }_2\}=|a|\max \{\Vert x_1{\Vert }_1,\Vert x_2{\Vert }_2\}=|a|\Vert x\Vert$，齐次性成立
4. $\Vert x+y\Vert =\max \{\Vert x_1+y_1{\Vert }_1,\Vert x_2+y_2{\Vert }_2\}\le \max \{\Vert x_1{\Vert }_1+\Vert y_1{\Vert }_1,\Vert x_2{\Vert }_2+\Vert y_2{\Vert }_2\}\le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$，三角不等式成立

综上，$\Vert \cdot \Vert$ 为 $X$ 上的范数。

2. $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 为 Banach 空间当且仅当 $X_1$ 及 $X_2$ 均为 Banach 空间

充分性

$X$ 为 Banach 空间，即诱导度量 $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ 为完备度量空间。即 $X$ 中的 Cauchy 列均收敛。

考虑 $X$ 中的 Cauchy 列 $\{x_n\}=\{(x_{n1},x_{n2})\}$，$\forall \epsilon >0$，$\exists N$，使得 $\forall n,m>N$，有 $\Vert x_n-x_m\Vert <\epsilon$。下面展开 $\Vert x_n-x_m\Vert$：

$$\begin{array}{rl}\Vert x_n-x_m\Vert & =\max \{\Vert x_{n1}-x_{m1}{\Vert }_1,\Vert x_{n2}-x_{m2}{\Vert }_2\}<\epsilon \\ & \{\begin{array}{l}\Vert x_{n1}-x_{m1}{\Vert }_1<\epsilon \\ \Vert x_{n2}-x_{m2}{\Vert }_2<\epsilon \end{array}\end{array}$$

故 $\{x_{n1}\}$ 和 $\{x_{n2}\}$ 分别构成 $X_1,X_2$ 中的 Cauchy 列。

又由 $\{x_n\}$ 收敛，即 $\exists x=(x_1,x_2)\in X,\forall \epsilon >0,\exists N$，使得 $\forall n>N$，有 $\Vert x_n-x\Vert <\epsilon$。下面展开 $\Vert x_n-x\Vert$：

$$\begin{array}{rl}\Vert x_n-x\Vert & =\max \{\Vert x_{n1}-x_1{\Vert }_1,\Vert x_{n2}-x_2{\Vert }_2\}<\epsilon \\ & \{\begin{array}{l}\Vert x_{n1}-x_1{\Vert }_1<\epsilon \\ \Vert x_{n2}-x_2{\Vert }_2<\epsilon \end{array}\end{array}$$

故 $\{x_{n1}\}$ 和 $\{x_{n2}\}$ 分别收敛于 $x_1,x_2$。

由 $\{x_n\}$ 选取的任意性，$X_1,X_2$ 均为完备度量空间，即为 Banach 空间。

必要性

$X_1,X_2$ 均为 Banach 空间，即诱导度量 $d_1(x_1,y_1)=\Vert x_1-y_1{\Vert }_1,d_2(x_2,y_2)=\Vert x_2-y_2{\Vert }_2$ 均为完备度量空间。即 $X_1,X_2$ 中的 Cauchy 列均收敛。

取 $X_1,X_2$ 中的 Cauchy 列 $\{x_{1n}\},\{x_{2m}\}$，则 $\forall \epsilon >0,\exists N_1,N_2$，使得 $\forall n>N_1,m>N_2$，有 $\Vert x_{1n}-x_{1m}{\Vert }_1<\epsilon ,\Vert x_{2n}-x_{2m}{\Vert }_2<\epsilon$。

组合两序列构成 $\{x_n\}=\{(x_{1n},x_{2n})\}$，则 $\forall \epsilon >0,\exists N=\max \{N_1,N_2\}$，使得 $\forall n>N$，有 $\Vert x_n-x_m\Vert =\max \{\Vert x_{1n}-x_{1m}{\Vert }_1,\Vert x_{2n}-x_{2m}{\Vert }_2\}<\epsilon$。故 $\{x_n\}$ 为 $X$ 中的 Cauchy 列。

$\{x_{1n}\},\{x_{2m}\}$ 收敛，即 $\exists x_1\in X_1,x_2\in X_2$，使得 $\forall \epsilon >0,\exists N_1,N_2$，使得 $\forall n>N_1,m>N_2$，有 $\Vert x_{1n}-x_1{\Vert }_1<\epsilon ,\Vert x_{2m}-x_2{\Vert }_2<\epsilon$。

故 $\forall \epsilon >0,\exists N=\max \{N_1,N_2\}$，使得 $\forall n>N$，有 $\Vert x_n-x\Vert =\max \{\Vert x_{1n}-x_1{\Vert }_1,\Vert x_{2n}-x_2{\Vert }_2\}<\epsilon$。故 $\{x_n\}$ 收敛于 $x=(x_1,x_2)$。

由 $\{x_{1n}\},\{x_{2m}\}$ 选取的任意性，$X$ 为完备度量空间，即为 Banach 空间。