2018-5

设 $X$ 为可分赋范空间，求证：存在一列 $\{f_n\}\in X^{\prime },\Vert f_n\Vert =1$，使得 $\forall x\in X,\Vert x\Vert =\underset{n\ge 1}{\sup }|f_n(x)|$。

解答

$X$ 为可分赋范空间，故其非零。$\forall f\in X^{\prime },f\ne 0$，有 $|f(x)|\le \Vert f\Vert \Vert x\Vert$，即 $\frac{|f(x)|}{\Vert f\Vert }\le \Vert x\Vert$，故 $\Vert x\Vert \ge \underset{f\ne 0}{\sup }\frac{|f(x)|}{\Vert f\Vert }$。进一步取 $\Vert f\Vert =1$，则 $\Vert x\Vert \ge \underset{\Vert f\Vert =1}{\sup }|f(x)|$。

又由 Hahn-Banach 定理，$\exists f\in X^{\prime },\Vert f\Vert =1,f(x)=\Vert x\Vert$，即 $\Vert x\Vert \le \underset{\Vert f\Vert =1}{\sup }|f(x)|$。

综上，$\Vert x\Vert =\underset{\Vert f\Vert =1}{\sup }|f(x)|$。