2012-1

设 $H$ 为内积空间，$A,B$ 为 $H$ 上线性算子，满足 $⟨Ax,y⟩=⟨x,By⟩$，试证明 $A,B$ 均为有界线性算子，且 $\Vert A\Vert =\Vert B\Vert$。

解答

注：闭图像定理需要 $H$ 和诱导范数构成 Banach 空间。也许应该先证明这一点，但还没想到怎么证明。

分析可能是题目有误，参见 2018-1。

取 $X$ 中的序列 $x_n\to x,A{x}_n\to z$，则

$$\begin{array}{rl}⟨A{x}_n,y⟩& =⟨x_n,By⟩\\ \underset{n\to \infty }{\lim }⟨A{x}_n,y⟩& =\underset{n\to \infty }{\lim }⟨x_n,By⟩\\ ⟨z,y⟩& =⟨x,By⟩\\ & =⟨Ax,y⟩\end{array}$$

故 $Ax=z$，即 $A$ 为闭算子。由闭图像定理，$A$ 为有界线性算子。同理可证 $B$ 为有界线性算子。

由 $H$ 为内积空间，其上的诱导范数 $\Vert x\Vert =⟨x,x{⟩}^{\frac{1}{2}}$，则

$$\begin{array}{rl}\Vert Ax{\Vert }^2& =|⟨Ax,Ax⟩|\\ & =|⟨x,BAx⟩|\\ & \le \Vert x\Vert \Vert BAx\Vert \\ & \le \Vert x\Vert \Vert B\Vert \Vert Ax\Vert \\ \Vert Ax\Vert & \le \Vert B\Vert \Vert x\Vert \end{array}$$

故 $\Vert A\Vert \le \Vert B\Vert$。同理可证 $\Vert B\Vert \le \Vert A\Vert$，故 $\Vert A\Vert =\Vert B\Vert$。