习题 4.32

设 $X,Y$ 为 Banach 空间, $D(T)\subset X$ 为线性子空间, $T:D(T)\to Y$ 为线性算子. 求证下述命题相互等价:

(1)存在闭算子 $\tilde{T}$, 使得 $G_{\tilde{T}}={\bar{G}}_T$ (此时称 $\tilde{T}$ 为 $T$ 的闭延拓);

(2) 若 $(0,y)\in {\bar{G}}_T$, 则 $y=0$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明.
记 $G_T=\{(x,Tx):x\in D(T)\}$ 为 $T$ 的图. 由于 $T$ 是线性的, $G_T$ 是 $X\times Y$ 的线性子空间. 其闭包 ${\overline{G}}_T$ 在 $X\times Y$ 中为闭线性子空间 (因为赋范空间中线性子空间的闭包仍是线性子空间).

下证 (1) $\iff$ (2).

$(2)\Rightarrow (1)$
假设 $(0,y)\in {\overline{G}}_T$ 蕴含 $y=0$. 因为 ${\overline{G}}_T$ 是闭线性子空间, 由该单值性条件可知 ${\overline{G}}_T$ 是一个线性算子的图. 具体地, 定义
$$D(\tilde{T})=\{x\in X:\exists y\in Y\text{ 使 }(x,y)\in {\overline{G}}_T\},$$
并对每个 $x\in D(\tilde{T})$, 令 $\tilde{T}x=y$, 其中 $y$ 是唯一满足 $(x,y)\in {\overline{G}}_T$ 的元素 (唯一性由条件 $(2)$ 保证). 易验证 $D(\tilde{T})$ 是 $X$ 的线性子空间且 $\tilde{T}$ 是线性算子. 由构造 $G_{\tilde{T}}={\overline{G}}_T$, 故 $\tilde{T}$ 的图是闭集, 即 $\tilde{T}$ 是闭算子. 此外, 对任意 $x\in D(T)$, $(x,Tx)\in G_T\subseteq {\overline{G}}_T$, 从而 $x\in D(\tilde{T})$ 且 $\tilde{T}x=Tx$, 因此 $\tilde{T}$ 是 $T$ 的闭延拓. 这就得到 (1).

$(1)\Rightarrow (2)$
设存在闭算子 $\tilde{T}$ 使得 $G_{\tilde{T}}={\overline{G}}_T$. 由于 $\tilde{T}$ 是线性算子, 有 $\tilde{T}0=0$, 故 $(0,0)\in G_{\tilde{T}}$. 若 $(0,y)\in {\overline{G}}_T=G_{\tilde{T}}$, 则必有 $y=\tilde{T}0=0$, 所以条件 (2) 成立.

综上, (1) 与 (2) 等价. $\square$