习题 4.31

设 $X$ 为 Banach 空间, $Y$ 为赋范空间, $D(T)\subset X$ 为线性子空间, $T:D(T)\to Y$ 为闭算子, 假设 $T$ 为一一映射且 $T^{-1}\in B(Y,X)$, 求证: $R(T)$ 为 $Y$ 的闭线性子空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：显然 $R(T)$ 是 $Y$ 的线性子空间。只需证明它是闭的。

设 $\{y_n\}\subset R(T)$ 且 $y_n\to y\in Y$。由于 $T$ 是单射，存在唯一的 $x_n\in D(T)$ 使得 $T{x}_n=y_n$。因 $T^{-1}:R(T)\to X$ 是有界线性算子，故存在常数 $M>0$ 使得 $$\Vert T^{-1}z\Vert \le M\Vert z\Vert ,\forall z\in R(T).$$ 于是对任意 $n,m$ 有 $$\Vert x_n-x_m\Vert =\Vert T^{-1}(y_n-y_m)\Vert \le M\Vert y_n-y_m\Vert .$$ 由于 $\{y_n\}$ 收敛，它是 Cauchy 列，从而 $\{x_n\}$ 也是 $X$ 中的 Cauchy 列。$X$ 是 Banach 空间，故存在 $x\in X$ 使得 $x_n\to x$。

考虑序对 $(x_n,y_n)\in G(T)$（$G(T)$ 是 $T$ 的图像）。由 $T$ 是闭算子，$G(T)$ 在 $X\times Y$ 中闭。而 $(x_n,y_n)\to (x,y)$，因此 $(x,y)\in G(T)$。这意味着 $x\in D(T)$ 且 $Tx=y$，所以 $y\in R(T)$。

这就证明了 $R(T)$ 是闭集。∎