习题 4.30

设 $X,Y$ 为赋范空间 $,T\in B(X,Y),S:X\to Y$ 为闭算子. 求证: $S+T$ 为闭算子.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：
设 $D(S+T)=D(S)$。要证 $S+T$ 是闭算子，只需证明：对任意 $\{x_n\}\subseteq D(S)$，若 $x_n\to x$ 于 $X$ 且 $(S+T)x_n\to y$ 于 $Y$，则 $x\in D(S)$ 且 $y=(S+T)x$。

因为 $T\in B(X,Y)$ 是有界线性算子，故 $T$ 连续。由 $x_n\to x$ 得 $T{x}_n\to Tx$。又已知 $(S+T)x_n\to y$，于是 $$S{x}_n=(S+T)x_n-T{x}_n\to y-Tx(n\to \infty ).$$ 现在 $\{x_n\}\subseteq D(S)$，$x_n\to x$ 且 $S{x}_n\to y-Tx$。由于 $S$ 是闭算子，根据闭算子的定义有 $x\in D(S)$ 且 $Sx=y-Tx$。从而 $y=Sx+Tx=(S+T)x$，且 $x\in D(S)=D(S+T)$。

因此 $S+T$ 是闭算子。 $\square$