习题 4.29

设 $X,Y$ 为赋范空间, $T:X\to Y$ 为线性算子, 求证: $T$ 为闭算子当且仅当任取 $x_n\in X,x_n\to 0,T{x}_n\to y$, 都有 $y=0$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

设 $X,Y$ 为赋范空间，$T:X\to Y$ 为线性算子（定义域为全空间 $X$）。

必要性：若 $T$ 为闭算子，即图 $G(T)=\{(x,Tx):x\in X\}$ 在 $X\times Y$ 中闭。任取序列 $\{x_n\}\subset X$ 满足 $x_n\to 0$ 且 $T{x}_n\to y$。由于 $(x_n,T{x}_n)\in G(T)$ 且 $(x_n,T{x}_n)\to (0,y)$，而 $G(T)$ 闭，故 $(0,y)\in G(T)$，从而 $y=T(0)=0$（线性算子必有 $T0=0$）。因此 $y=0$。

充分性：假设对任意 $\{x_n\}\subset X$，若 $x_n\to 0$ 且 $T{x}_n\to y$，则必有 $y=0$。为证 $T$ 闭，任取 $\{x_n\}\subset X$ 使得 $x_n\to x$ 且 $T{x}_n\to y$。令 $z_n=x_n-x$，则 $z_n\to 0$。由 $T$ 的线性性， $$T{z}_n=T{x}_n-Tx.$$ 因为 $T{x}_n\to y$ 且 $Tx$ 为常向量，故 $T{z}_n\to y-Tx$。对序列 $\{z_n\}$（$z_n\to 0$）应用假设条件，得到其像的极限必为零，即 $y-Tx=0$，所以 $y=Tx$。这说明只要 $x_n\to x$ 且 $T{x}_n\to y$，就有 $y=Tx$，因此 $G(T)$ 闭，$T$ 为闭算子。

综上，所述等价性成立。