习题 28

设 $X$ 为 Banach 空间，$X_1,X_2$ 为 $X$ 的闭线性子空间，假设任取 $x\in X$，存在唯一的 $x_1\in X_1,x_2\in X_2$ 使得 $x=x_1+x_2$。求证：存在 $a>0$ 使得 $\Vert x_1\Vert \le a\Vert x_1+x_2\Vert ,\Vert x_2\Vert \le a\Vert x_1+x_2\Vert ,x_1\in X_1,x_2\in X_2$。

解答

由 $\forall x\in X,\exists !x_1\in X_1,x_2\in X_2,x=x_1+x_2$，则 $X=X_1\oplus X_2$。

定义 $T:X_1\times X_2\to X,(x_1,x_2)\mapsto x=x_1+x_2$。

由 $X$ 为 Banach 空间，$X_1,X_2$ 为闭线性子空间，有 $X_1,X_2$ 也为 Banach 空间，$X_1\times X_2$ 为 Banach 空间。

由 $x=x_1+x_2$ 的唯一性与存在性，$T$ 为双射。

由开映射定理，$T^{-1}\in B(X,X_1\times X_2)$。则有

$$\begin{array}{rl}\Vert T^{-1}x\Vert & =\Vert (x_1,x_2)\Vert \\ & =\Vert x_1\Vert +\Vert x_2\Vert \\ & \le a\Vert x\Vert \\ & =a\Vert x_1+x_2\Vert \end{array}$$

从而 $\Vert x_1\Vert \le a\Vert x_1+x_2\Vert ,\Vert x_2\Vert \le a\Vert x_1+x_2\Vert$。