2013-5

设 $X,Y$ 为 Banach 空间，$T\in B(X,Y)$ 为单射。令 $R(T)=\{Tx:x\in X\}$ 为 $T$ 的值域。求证：$R(T)$ 在 $Y$ 中为闭子空间当且仅当 $T^{-1}:R(T)\to X$ 为有界线性算子。

解答

充分性

$R(T)$ 在 $Y$ 中为闭子空间，即 $R(T)$ 为 Banach 空间。则 $T:X\to R(T)$ 对于 $R(T)$ 为满射，且 $T$ 为单射，故 $T$ 为双射。由开映射定理，$T^{-1}:R(T)\to X$ 为有界线性算子。

必要性

设 $y_n=T{x}_n$ 为 $R(T)$ 中的 Cauchy 序列，则有 $y\in Y,y_n\to y$，又由 $T$ 为单射，$\exists !x_n=T^{-1}{y}_n$。

由 $y_n$ 为 Cauchy 序列，$\forall \epsilon >0,\exists N>1,\forall n,m>N,\Vert y_n-y_m\Vert <\epsilon$，则

$$\Vert x_n-x_m\Vert =\Vert T^{-1}{y}_n-T^{-1}{y}_m\Vert =\Vert T^{-1}(y_n-y_m)\Vert \le \Vert T^{-1}\Vert \Vert y_n-y_m\Vert$$

由 $T^{-1}$ 为有界线性算子，则 $\{x_n\}$ 也为 Cauchy 序列，故 $\exists x\in X,x_n\to x$。

由 $T$ 为连续线性算子，$\underset{n\to \infty }{\lim }T{x}_n=T(\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n)=Tx$，又 $T{x}_n=y_n\to y$，故 $Tx=y$，即 $y\in R(T)$。故 $R(T)$ 为闭子空间。