2022-3

设 $H$ 为可分无穷维 Hilbert 空间，$A\in B(H)$，且存在 $H$ 的完全标准正交集 $\{e_n:n\ge 1\}$，使得 $\sum _{n\ge 1}\Vert A{e}_n{\Vert }^2<\infty$。定义 $A$ 的 Hilbert-Schmidt 范数为 $\Vert A{\Vert }_{HS}=(\sum _{n\ge 1}\Vert A{e}_n{\Vert }^2{)}^{\frac{1}{2}}$。求证

1. $\Vert A{\Vert }_{HS}=\Vert A^{\ast }{\Vert }_{HS}$，其中 $A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随算子
2. 若 $\{f_n:n\ge 1\}$ 为 $H$ 的另一个完全标准正交集，则 $\sum _{n\ge 1}\Vert A{e}_n{\Vert }^2=\sum _{n\ge 1}\Vert A{f}_n{\Vert }^2$
3. $\Vert A\Vert \le \Vert A{\Vert }_{HS}$

解答

1. $\Vert A{\Vert }_{HS}=\Vert A^{\ast }{\Vert }_{HS}$，其中 $A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随算子

$A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随算子，即 $\forall x,y\in H,⟨Ax,y⟩=⟨x,A^{\ast }y⟩$。

$$\begin{array}{rl}\Vert A{\Vert }_{HS}& =(\sum _{n\ge 1}\Vert A{e}_n{\Vert }^2{)}^{\frac{1}{2}}\\ & =(\sum _{n\ge 1}⟨A{e}_n,A{e}_n⟩{)}^{\frac{1}{2}}\\ & =(\sum _{n\ge 1}⟨e_n,A^{\ast }A{e}_n⟩{)}^{\frac{1}{2}}\\ & =(\sum _{n\ge 1}⟨A{A}^{\ast }{e}_n,e_n⟩{)}^{\frac{1}{2}}\\ & =(\sum _{n\ge 1}⟨A^{\ast }{e}_n,A^{\ast }{e}_n⟩{)}^{\frac{1}{2}}\\ & =\Vert A^{\ast }{\Vert }_{HS}\end{array}$$

2. 若 $\{f_n:n\ge 1\}$ 为 $H$ 的另一个完全标准正交集，则 $\sum _{n\ge 1}\Vert A{e}_n{\Vert }^2=\sum _{n\ge 1}\Vert A{f}_n{\Vert }^2$

$\{f_n\}$ 也为完全标准正交集，故 $\forall e_n\in \{e_n\},\exists a_i\in \mathbb{K},\sum _{i\ge 1}{a}_i{f}_i=e_n$，其中 $a_i=⟨e_n,f_i⟩$。

$$\begin{array}{rl}\sum _{n\ge 1}\Vert A{e}_n{\Vert }^2& =\sum _{n\ge 1}⟨A{e}_n,A{e}_n⟩\\ & =\sum _{n\ge 1}\sum _{i\ge 1}⟨A{e}_n,f_i⟩⟨f_i,A{e}_n⟩\\ & =\sum _{n\ge 1}\sum _{i\ge 1}|⟨A{e}_n,f_i⟩{|}^2\\ & =\sum _{n\ge 1}\sum _{i\ge 1}|⟨e_n,A^{\ast }{f}_i⟩{|}^2\\ & =\sum _{n\ge 1}\sum _{i\ge 1}|⟨A^{\ast }{f}_i,e_n⟩{|}^2\\ & =\sum _{i\ge 1}⟨A^{\ast }{f}_i,A^{\ast }{f}_i⟩\\ & =\sum _{i\ge 1}\Vert A^{\ast }{f}_i{\Vert }^2\\ & =\sum _{i\ge 1}\Vert A{f}_i{\Vert }^2\end{array}$$

3. $\Vert A\Vert \le \Vert A{\Vert }_{HS}$

取 $x\in H,\Vert x\Vert =1$，则 $\exists \{x_n\}\subset \mathbb{K},x=\sum _{n\ge 1}{x}_n{e}_n$，其中 $\sum _{n\ge 1}|x_n{|}^2=1$。

$$\begin{array}{rl}\Vert Ax\Vert & =\Vert A\sum _{n\ge 1}{x}_n{e}_n\Vert \\ & =\Vert \sum _{n\ge 1}{x}_{n}A{e}_n\Vert \\ & \le \sum _{n\ge 1}|x_n|\Vert A{e}_n\Vert \\ & \le (\sum _{n\ge 1}|x_n{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}(\sum _{n\ge 1}\Vert A{e}_n{\Vert }^2{)}^{\frac{1}{2}}\\ & =\Vert A{\Vert }_{HS}\end{array}$$