2011-3

$K$ 是一个非空紧集，$T:K\to K$ 的算子，且满足 $\forall x,y\in K,d(Tx,Ty)<d(x,y)$。令 $f(x)=d(x,Tx)$，证明：

1. $f$ 为 $K$ 上的连续函数
2. $K$ 中有唯一不动点

解答

1. $f$ 为 $K$ 上的连续函数

由 $\forall x,y\in K,d(Tx,Ty)<d(x,y)$，故 $T$ 为 Lipschitz 映射，连续。

对于任意的 $x_0\in K,\epsilon >0$，取 $0<\delta <\frac{\epsilon }{2}$，考虑 $d(x,x_0)<\delta$ 的 $x$，有

$$\begin{array}{rl}f(x)& =d(x,Tx)\\ & \le d(x,x_0)+d(x_0,Tx)\\ & \le d(x,x_0)+d(x_0,T{x}_0)+d(T{x}_0,Tx)\\ d(x,Tx)-d(x_0,T{x}_0)& \le d(x,x_0)+d(T{x}_0,Tx)\\ d(x,Tx)-d(x_0,T{x}_0)& <2d(x,x_0)\\ d(x,Tx)-d(x_0,T{x}_0)& <2\delta \\ d(x,Tx)-d(x_0,T{x}_0)& <\epsilon \\ d(x_0,T{x}_0)-d(x,Tx)& >-\epsilon \end{array}$$

故 $f$ 为 $K$ 上的连续函数。

2. $K$ 中有唯一不动点

$K$ 为非空紧集，故 $K$ 完备且完全有界。

由 $f$ 为 $K$ 上的连续函数，故 $f$ 在 $K$ 上有最小值，设为 $f(x_0)$。

假设 $f(x_0)>0$，则

$$\begin{array}{rl}f(T{x}_0)& =d(T{x}_0,T^2{x}_0)\\ & \le d(x_0,T{x}_0)\\ & =f(x_0)\end{array}$$

由 $f(x_0)$ 为最小值，故 $f(T{x}_0)=f(x_0)$，即 $d(T{x}_0,T^2{x}_0)=d(x_0,T{x}_0)$，与题设矛盾。

故 $f(x_0)=0$，即 $x_0$ 为不动点。

再验证其唯一性，设 $x_1$ 也为不动点，则

$$\begin{array}{rl}T{x}_0& =x_0\\ T{x}_1& =x_1\\ d(T{x}_0,T{x}_1)& =d(x_0,x_1)\end{array}$$

这与题设 $d(Tx,Ty)<d(x,y)$ 矛盾，故 $x_0$ 为唯一不动点。