习题 4.24

设 $X$ 为赋范空间 $,x_n,y_n,x,y\in X,{\alpha }_n,\alpha \in \mathbb{K}$, 假设 $x_n-x,y_n\to y,{\alpha }_n\to \alpha$, 求证: $x_n+$ $y_n\to x+y,{\alpha }_n{x}_n\to \alpha x.$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

设 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 是赋范空间，$x_n,y_n,x,y\in X$，${\alpha }_n,\alpha \in \mathbb{K}$，且 $x_n\to x$，$y_n\to y$，${\alpha }_n\to \alpha$（即 $\Vert x_n-x\Vert \to 0$，$\Vert y_n-y\Vert \to 0$，$|{\alpha }_n-\alpha |\to 0$）。

(1) 证明 $x_n+y_n\to x+y$。

由范数的三角不等式， $$\Vert (x_n+y_n)-(x+y)\Vert =\Vert (x_n-x)+(y_n-y)\Vert \le \Vert x_n-x\Vert +\Vert y_n-y\Vert .$$ 因为 $\Vert x_n-x\Vert \to 0$，$\Vert y_n-y\Vert \to 0$，所以右端趋于 $0$，从而 $$\Vert (x_n+y_n)-(x+y)\Vert \to 0,$$ 即 $x_n+y_n\to x+y$。

(2) 证明 ${\alpha }_n{x}_n\to \alpha x$。

考虑分解 $${\alpha }_n{x}_n-\alpha x={\alpha }_n(x_n-x)+({\alpha }_n-\alpha )x.$$ 再次利用三角不等式及范数的齐次性， $$\Vert {\alpha }_n{x}_n-\alpha x\Vert \le \Vert {\alpha }_n(x_n-x)\Vert +\Vert ({\alpha }_n-\alpha )x\Vert =|{\alpha }_n|\cdot \Vert x_n-x\Vert +|{\alpha }_n-\alpha |\cdot \Vert x\Vert .$$ 由于 ${\alpha }_n\to \alpha$，数列 $\{{\alpha }_n\}$ 有界，即存在 $M>0$ 使得对所有 $n$ 有 $|{\alpha }_n|\le M$。于是 $$\Vert {\alpha }_n{x}_n-\alpha x\Vert \le M\Vert x_n-x\Vert +|{\alpha }_n-\alpha |\cdot \Vert x\Vert .$$ 已知 $\Vert x_n-x\Vert \to 0$，$|{\alpha }_n-\alpha |\to 0$，故右端趋于 $0$，从而 $$\Vert {\alpha }_n{x}_n-\alpha x\Vert \to 0,$$ 即 ${\alpha }_n{x}_n\to \alpha x$。