习题 4.25

设 $X$ 为可分 Banach 空间, $M\subset X^{\prime }$ 为有界集. 求证: $M$ 中任意序列均有子列弱星收敛到 $X^{\prime }$ 中某元.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：设 $X$ 是可分 Banach 空间，$M\subset X^{\prime }$ 为有界集。任取序列 $\{f_n\}\subset M$，需证存在子列 $\{f_{n_k}\}$ 及 $f\in X^{\prime }$，使得对任意 $x\in X$ 有 $f_{n_k}(x)\to f(x)$（即弱${}^{\ast }$收敛）。

1. 准备工作
因 $X$ 可分，存在可数稠密子集 $\{x_1,x_2,\dots \}\subset X$。又 $M$ 有界，故存在常数 $C>0$，使得 $\Vert f_n\Vert \le C$ 对所有 $n$ 成立。

2. 对角线法选取子列
考虑数列 $\{f_n(x_1)\}$，它是有界数列（$|f_n(x_1)|\le C\Vert x_1\Vert$），从而存在收敛子列。记该子列为 $\{f_{1,k}{\}}_{k=1}^{\infty }$，即 $\{f_{1,k}\}$ 是 $\{f_n\}$ 的子列且 ${\lim }_{k\to \infty }{f}_{1,k}(x_1)$ 存在。

对 $x_2$，从 $\{f_{1,k}\}$ 中又可取出子列 $\{f_{2,k}\}$，使得 ${\lim }_{k\to \infty }{f}_{2,k}(x_2)$ 存在，且由于 $\{f_{2,k}\}$ 是 $\{f_{1,k}\}$ 的子列，它在 $x_1$ 上依然收敛。

依此类推，对每个 $m\in \mathbb{N}$，可构造子列 $\{f_{m,k}{\}}_{k=1}^{\infty }$，满足：

• $\{f_{m,k}\}$ 是 $\{f_{m-1,k}\}$ 的子列（约定 $\{f_{0,k}\}=\{f_k\}$），
• 对每个 $i=1,\dots ,m$，极限 ${\lim }_{k\to \infty }{f}_{m,k}(x_i)$ 存在。

现取对角线子列 $g_k=f_{k,k}$（$k\ge 1$）。对任意固定的 $i\in \mathbb{N}$，当 $k\ge i$ 时，$g_k$ 属于第 $i$ 次抽取的子列 $\{f_{i,k}\}$ 中，因此 $\{g_k(x_i)\}$ 收敛。于是，子列 $\{g_k\}$ 在稠密子集 $\{x_i\}$ 上逐点收敛。

3. 证明 $\{g_k\}$ 在每点 $x\in X$ 收敛
任取 $x\in X$ 和 $\epsilon >0$。由稠密性，存在 $x_i$ 使得 $\Vert x-x_i\Vert <\frac{\epsilon }{3C}$。因为 $\{g_k(x_i)\}$ 收敛，故是 Cauchy 列，存在 $N$，当 $k,l\ge N$ 时 $$|g_k(x_i)-g_l(x_i)|<\frac{\epsilon }{3}.$$ 于是对 $k,l\ge N$， $$\begin{array}{rl}|g_k(x)-g_l(x)|& \le |g_k(x)-g_k(x_i)|+|g_k(x_i)-g_l(x_i)|+|g_l(x_i)-g_l(x)|\\ & \le \Vert g_k\Vert \Vert x-x_i\Vert +\frac{\epsilon }{3}+\Vert g_l\Vert \Vert x-x_i\Vert \\ & \le C\cdot \frac{\epsilon }{3C}+\frac{\epsilon }{3}+C\cdot \frac{\epsilon }{3C}=\epsilon .\end{array}$$ 所以 $\{g_k(x)\}$ 是 Cauchy 数列，从而收敛。记 $$f(x)=\underset{k\to \infty }{\lim }{g}_k(x),x\in X.$$

4. 验证 $f\in X^{\prime }$

• 线性：对任意 $x,y\in X$ 和 $\alpha ,\beta \in \mathbb{K}$， $$f(\alpha x+\beta y)=\underset{k\to \infty }{\lim }{g}_k(\alpha x+\beta y)=\underset{k\to \infty }{\lim }(\alpha g_k(x)+\beta g_k(y))=\alpha f(x)+\beta f(y).$$
• 有界性：对任意 $x\in X$， $$|f(x)|=\underset{k\to \infty }{\lim }|g_k(x)|\le \underset{k\to \infty }{\mathrm{liminf}}\Vert g_k\Vert \Vert x\Vert \le C\Vert x\Vert ,$$ 故 $\Vert f\Vert \le C$，从而 $f\in X^{\prime }$。

5. 弱${}^{\ast }$收敛性
由 $f$ 的定义，对任意 $x\in X$ 有 $g_k(x)\to f(x)$，即子列 $\{g_k\}$ 弱${}^{\ast }$收敛于 $f$。

综上，$M$ 中任意序列都存在弱${}^{\ast }$收敛子列，且极限属于 $X^{\prime }$。