习题 4.26

设 $X,Y$ 为赋范空间, $T:X\to Y$ 为闭线性算子, 求证:

(1) $N(T)$ 为 $X$ 的闭线性子空间;

(2)若 $T$ 为一一映射, 则 $T^{-1}:Y\to X$ 也为闭线性算子;

(3) $T$ 将 $X$ 的紧集映射到 $Y$ 的闭集;

(4) $Y$ 中紧集通过 $T$ 的逆像为 $X$ 的闭集.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明. 设 $X,Y$ 为赋范空间, $T:X\to Y$ 为闭线性算子, 即其图 $$G(T)=\{(x,Tx)\in X\times Y:x\in X\}$$ 是乘积空间 $X\times Y$ 中的闭集. 乘积空间赋予范数 $\Vert (x,y)\Vert =\Vert x{\Vert }_X+\Vert y{\Vert }_Y$ (或任何等价范数), 此时收敛等价于按分量收敛.

(1) 核 $N(T)=\{x\in X:Tx=0\}$ 显然是 $X$ 的线性子空间. 为证其闭, 取 $\{x_n\}\subset N(T)$ 且 $x_n\to x$ 于 $X$. 由于 $T{x}_n=0$, 故 $(x_n,T{x}_n)=(x_n,0)\to (x,0)$. 因为 $G(T)$ 闭, 必有 $(x,0)\in G(T)$, 即 $Tx=0$, 从而 $x\in N(T)$. 故 $N(T)$ 是闭子空间.

(2) 若 $T$ 是单射, 则逆算子 $T^{-1}:R(T)\to X$ 存在且为线性算子. 我们证明 $T^{-1}$ 也是闭算子. 考虑其图 $$G(T^{-1})=\{(y,T^{-1}y)\in Y\times X:y\in R(T)\}.$$ 设 $(y_n,x_n)\in G(T^{-1})$ 且 $(y_n,x_n)\to (y,x)$ 于 $Y\times X$. 则 $y_n=T{x}_n$, $x_n\to x$, $y_n\to y$. 由于 $T$ 闭, 由 $x_n\to x$ 且 $T{x}_n=y_n\to y$ 得 $Tx=y$, 从而 $x=T^{-1}y$, 即 $(y,x)\in G(T^{-1})$. 因此 $G(T^{-1})$ 闭, 故 $T^{-1}$ 为闭线性算子.

(3) 设 $K\subset X$ 为紧集. 欲证 $T(K)$ 为 $Y$ 中闭集. 取 $\{y_n\}\subset T(K)$ 且 $y_n\to y$ 于 $Y$. 则存在 $x_n\in K$ 使 $y_n=T{x}_n$. 因为 $K$ 紧, 存在子列 $\{x_{n_k}\}$ 和 $x\in K$ 满足 $x_{n_k}\to x$. 由 $y_n\to y$ 知 $y_{n_k}\to y$. 于是 $$(x_{n_k},T{x}_{n_k})=(x_{n_k},y_{n_k})\to (x,y).$$ $G(T)$ 闭蕴涵 $(x,y)\in G(T)$, 即 $y=Tx\in T(K)$. 故 $T(K)$ 闭.

(4) 设 $C\subset Y$ 为紧集. 欲证 $T^{-1}(C)=\{x\in X:Tx\in C\}$ 为 $X$ 中闭集. 取 $\{x_n\}\subset T^{-1}(C)$ 且 $x_n\to x$ 于 $X$. 则 $T{x}_n\in C$. 由于 $C$ 紧, 存在子列 $\{T{x}_{n_k}\}$ 和 $y\in C$ 使 $T{x}_{n_k}\to y$. 又 $x_{n_k}\to x$, 从而 $$(x_{n_k},T{x}_{n_k})\to (x,y).$$ 由 $G(T)$ 闭得 $y=Tx$, 故 $Tx=y\in C$, 即 $x\in T^{-1}(C)$. 因此 $T^{-1}(C)$ 闭.

以上完成了全部证明.