习题 27

设 $H$ 为 Hilbert 空间，$A:H\to H$ 为线性算子，满足 $⟨Ax,y⟩=⟨x,Ay⟩,\forall x,y\in H$。求证：$A\in B(H)$。

解答

由 $H$ 为 Hilbert 空间，任意收敛列 $x_n$，$\exists x\in H,x_n\to x$，并记 $A{x}_n\to y$。下证 $Ax=y$。

$$\begin{array}{rl}⟨A{x}_n,z⟩& =⟨x_n,Az⟩\\ \underset{n\to \infty }{\lim }⟨A{x}_n,z⟩& =\underset{n\to \infty }{\lim }⟨x_n,Az⟩\\ ⟨y,z⟩& =⟨x,Az⟩\\ ⟨y,z⟩& =⟨Ax,z⟩\\ y& =Ax\end{array}$$

从而 $A$ 为闭算子，由闭图像定理，$A\in B(H)$。