习题 37

设 $\{y_n\}$ 为数列，假设任取 $\{x_n\}\in {\ell }^1$，级数 $\sum _{n\ge 1}{x}_n{y}_n$ 均收敛。求证 $\{y_n\}\in {\ell }^{\infty }$。

解答

定义一列泛函 $f_N(x)=\sum _{n=1}^N{x}_n{y}_n$，现证 $f_N\in ({\ell }^1{)}^{\prime }$。

$\forall x_1,x_2\in {\ell }^1,\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$，有

$$\begin{array}{rl}{f}_N(\alpha x_1+\beta x_2)& =\sum _{n=1}^N(\alpha x_{1n}+\beta x_{2n})y_n\\ & =\sum _{n=1}^N\alpha x_{1n}{y}_n+\sum _{n=1}^N\beta x_{2n}{y}_n\\ & =\alpha \sum _{n=1}^N{x}_{1n}{y}_n+\beta \sum _{n=1}^N{x}_{2n}{y}_n\\ & =\alpha f_N(x_1)+\beta f_N(x_2)\end{array}$$

再证其有界性：

$$\begin{array}{rl}|f_N(x)|& =|\sum _{n=1}^N{x}_n{y}_n|\\ & \le \sum _{n=1}^N|x_n{y}_n|\\ & \le \sum _{n=1}^N|x_n|\underset{1\le n\le N}{\max }|y_n|\\ & =\Vert x{\Vert }_1\underset{1\le n\le N}{\max }|y_n|\end{array}$$

故 $f_N$ 有界，且 $\Vert f_N\Vert \le \underset{1\le n\le N}{\max }|y_n|$。

$$\begin{array}{rl}|f_N(x)|& \le \Vert f_N\Vert \Vert x{\Vert }_1\\ \Vert f_N\Vert & \ge \frac{|f_N(x)|}{\Vert x{\Vert }_1}\end{array}$$

取 $\{x_n\}=\{0,\cdots ,0,1,0,\cdots \}$，其中 $1$ 在第 $n$ 位，则 $\Vert x_n{\Vert }_1=1$，且 $f_N(x_n)=y_n$，故 $\Vert f_N\Vert \ge |f_N(x_n)|=|y_n|$，即 $\Vert f_N\Vert \ge \underset{1\le n\le N}{\max }|y_n|$。

综上，$\Vert f_N\Vert =\underset{1\le n\le N}{\max }|y_n|$。

$\forall x\in {\ell }^1,\underset{N\ge 1}{\sup }|f_N(x)|=\underset{N\ge 1}{\sup }|\sum _{n=1}^N{x}_n{y}_n|<\infty$，由一致有界性原理，$\underset{N\ge 1}{\sup }\Vert f_N\Vert <\infty$。

故 $\underset{1\le n\le N}{\max }|y_n|<\infty$，即 $\{y_n\}\in {\ell }^{\infty }$。