2012-2

设 $X$ 为赋范空间，$\{x_1,x_2,\cdots \}$ 为其中一列元素。求证：

1. $M=\overline{\mathrm{span}\{x_1,x_2,\cdots \}}$ 是一个可分赋范空间
2. $X$ 可分 \iff $X$ 为赋范空间存在元列 $\{x_1,x_2,\cdots \}$，对于 $\forall f\in X^{\prime }$，有 $f(x_i)=0$ 时必有 $f=0$

解答

1. $M=\overline{\mathrm{span}\{x_1,x_2,\cdots \}}$ 是一个可分赋范空间

可分，即 $M$ 中存在至多可数稠密子集。下面考虑 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 的情形。

取 $M$ 中的子集 $S_n=\{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i\mid {\alpha }_i\in \mathbb{Q}\}$，则 $S_n$ 为有理数系数的有限线性组合，并记 $S=\bigcup _{n=1}^{\infty }{S}_n$。

下面证 $S$ 在 $M$ 中稠密。设 $y\in M$，则 $\forall \epsilon >0$，有 $x\in \mathrm{span}\{x_1,x_2,\cdots \}$，使得 $\Vert y-x\Vert <\frac{\epsilon }{2}$。

由 $x\in \mathrm{span}\{x_1,x_2,\cdots \}$，有 $x=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i$，其中 ${\alpha }_i\in \mathbb{R}$。

由 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中的稠密性，$\exists {\beta }_i\in \mathbb{Q}$ 使得 $|{\alpha }_i-{\beta }_i|\Vert x_i\Vert <\frac{\epsilon }{2n}$，则对于 $z=\sum _{i=1}^n{\beta }_i{x}_i\in S_n$，有

$$\begin{array}{rl}\Vert x-z\Vert & =\Vert \sum _{i=1}^n({\alpha }_i-{\beta }_i)x_i\Vert \\ & \le \sum _{i=1}^n|{\alpha }_i-{\beta }_i|\Vert x_i\Vert \\ & <\sum _{i=1}^n\frac{\epsilon }{2n}\\ & =\frac{\epsilon }{2}\end{array}$$

故 $z\in S$ 且 $\Vert y-z\Vert \le \Vert y-x\Vert +\Vert x-z\Vert <\epsilon$。

由 $y$ 选取的任意性，$S$ 在 $M$ 中稠密。

又由 $S_n$ 为有理数系数的有限线性组合，故 $S_n$ 为至多可数集，$S$ 为至多可数集的可数并，故 $S$ 为至多可数集。

故 $M$ 为可分赋范空间。

2. $X$ 可分 \iff $X$ 为赋范空间存在元列 $\{x_1,x_2,\cdots \}$，对于 $\forall f\in X^{\prime }$，有 $f(x_i)=0$ 时必有 $f=0$

充分性

$X$ 可分，即 $X$ 中存在至多可数的稠密子集，不妨取至多可数集 $S$，$\forall x\in X,\exists \{x_n\}\subset S,x_n\to x$

由 $f$ 为有界线性泛函，故 $f$ 连续，进而有

$$\begin{array}{rl}f(x)& =f(\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n)\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)\\ & =0\end{array}$$

故 $f=0$。

必要性

设 $X$ 为赋范空间存在元列 $\{x_1,x_2,\cdots \}$，对于 $\forall f\in X^{\prime }$，有 $f(x_i)=0$ 时必有 $f=0$。

假设 $\exists x\in X\setminus \overline{\mathrm{span}\{x_1,x_2,\cdots \}}$，由 Hahn-Banach 定理，$\exists f\in X^{\prime }$，使得 $f(x)=1,f{|}_{\overline{\mathrm{span}\{x_1,x_2,\cdots \}}}=0$。这与 $f(x_i)=0$ 时必有 $f=0$ 矛盾。

故 $X=\overline{\mathrm{span}\{x_1,x_2,\cdots \}}$，故 $X$ 可分。