2010-3

设 $X^{\prime }$ 可分，证明存在 $x_n\in X$ 使得 $\forall f\in X^{\prime },\Vert f\Vert =\underset{n\ge 1}{\sup }|f(x_n)|$，且 $\Vert x_n\Vert =1$。

解答

考虑典范映射 $J:X\to X^{\prime \prime },x\mapsto g_x$，其中 $g_x(f)=f(x)$。

$X^{\prime }$ 可分，故其非零。$\forall g_x\in X^{\prime \prime },g_x\ne 0$，有 $|g_x(f)|\le \Vert g_x\Vert \Vert f\Vert =\Vert x\Vert \Vert f\Vert$，则 $\Vert f\Vert \ge \frac{|g_x(f)|}{\Vert g_x\Vert }$，故 $\Vert f\Vert \ge \underset{g_x\ne 0}{\sup }\frac{|g_x(f)|}{\Vert g_x\Vert }$。进一步取 $\Vert g_x\Vert =1$，则 $\Vert f\Vert \ge \underset{g_x\ne 0}{\sup }|g_x(f)|$。

由 Hahn-Banach 定理，$\exists g_x\in X^{\prime \prime },\Vert g_x\Vert =1,g_x(f)=\Vert f\Vert$，即 $\Vert f\Vert \le \underset{g_x\ne 0}{\sup }|g_x(f)|$。

综上，$\Vert f\Vert =\underset{g_x\ne 0}{\sup }|g_x(f)|$，即 $\exists x_n\in X,\Vert x_n\Vert =1,\Vert f\Vert =\underset{n\ge 1}{\sup }|f(x_n)|$。