设 X′ 可分,证明存在 xn∈X 使得 ∀f∈X′,∥f∥=n≥1sup∣f(xn)∣,且 ∥xn∥=1。
考虑典范映射 J:X→X′′,x↦gx,其中 gx(f)=f(x)。
X′ 可分,故其非零。∀gx∈X′′,gx=0,有 ∣gx(f)∣≤∥gx∥∥f∥=∥x∥∥f∥,则 ∥f∥≥∥gx∥∣gx(f)∣,故 ∥f∥≥gx=0sup∥gx∥∣gx(f)∣。进一步取 ∥gx∥=1,则 ∥f∥≥gx=0sup∣gx(f)∣。
由 Hahn-Banach 定理,∃gx∈X′′,∥gx∥=1,gx(f)=∥f∥,即 ∥f∥≤gx=0sup∣gx(f)∣。
综上,∥f∥=gx=0sup∣gx(f)∣,即 ∃xn∈X,∥xn∥=1,∥f∥=n≥1sup∣f(xn)∣。