2011-5

$H$ 为 Hilbert 空间，$A:H\to H$ 为有界线性算子，且满足 $C\Vert x{\Vert }^2\le |⟨Ax,x⟩|$，其中 $C$ 为大于 0 的常数。定义 $R(A)=\{Ax:x\in H\}$，证明：

1. $A$ 为单射
2. $R(A)$ 为 $H$ 的闭子空间
3. $R(A)$ 在 $H$ 中稠密，并由此证明 $A$ 为双射
4. $A^{-1}$ 有界，且满足 $\Vert A^{-1}\Vert \le \frac{1}{C}$

解答

1. $A$ 为单射

欲证 $A$ 为单射，只需证 $N(A)=\{0\}$。

假设 $\exists x\in N(A),x\ne 0$，则有 $Ax=0,⟨Ax,x⟩=0$，与 $C\Vert x{\Vert }^2\le |⟨Ax,x⟩|$ 矛盾。

故 $N(A)=\{0\}$，即 $A$ 为单射。

2. $R(A)$ 为 $A$ 的闭子空间

$A:H\to H$，故 $R(A)\subset H$。

下证 $R(A)$ 为闭集。

任取 $y_n\in R(A),y_n\to y$，则有 $x_n\in H,y_n=A{x}_n$。且 $y_n$ 为 Cauchy 列，即 $\forall \epsilon >0,\exists N\ge 1,\forall n,m\ge N,\Vert y_n-y_m\Vert <\epsilon$。

$C\Vert x_m-x_n{\Vert }^2\le |⟨A(x_m-x_n),x_m-x_n⟩|=|⟨A{x}_m-A{x}_n,x_m-x_n⟩|=|⟨y_m-y_n,x_m-x_n⟩|\le \Vert y_m-y_n\Vert \Vert x_m-x_n\Vert$。

故 $\exists N\ge 1,\forall n,m\ge N,\Vert x_m-x_n\Vert <\frac{\epsilon }{C}$，即 $\{x_n\}$ 为 Cauchy 列。

由 $H$ 为 Hilbert 空间，故 $H$ 为完备度量空间，故 $\exists x\in H,x_n\to x\in D(A)$。则 $y_n=A{x}_n\to Ax\in R(A),y=Ax\in R(A)$。

故 $R(A)$ 为 $H$ 的闭子空间。

3. $R(A)$ 在 $H$ 中稠密，并由此证明 $A$ 为双射

欲证 $R(A)$ 在 $H$ 中稠密，只需证 $(R(A){)}^{\perp }=\{0\}$，便可由 $H=R(A)\oplus (R(A){)}^{\perp }$ 知 $R(A)$ 在 $H$ 中稠密。

设 $y\in (R(A){)}^{\perp }$，则 $\forall x\in H,⟨y,Ax⟩=0$。

则 $C\Vert y{\Vert }^2\le |⟨Ay,y⟩|=0$，故 $\Vert y\Vert =0$，即 $y=0$。

故 $(R(A){)}^{\perp }=\{0\}$，即 $R(A)$ 在 $H$ 中稠密。

由 1 知 $A$ 为单射，只须证 $A$ 为满射。由 $R(A)$ 在 $H$ 中稠密，$(R(A){)}^{\perp }=\{0\}$，故 $R(A)=H$，则 $A$ 为满射。

综上，$A$ 为双射。

4. $A^{-1}$ 有界，且满足 $\Vert A^{-1}\Vert \le \frac{1}{C}$

由 3 知 $A$ 为双射，且 $H$ 为 Hilbert 空间，由开映射定理，$A^{-1}\in B(H)$。

$$\begin{array}{rl}C\Vert A^{-1}x{\Vert }^2& \le |⟨A{A}^{-1}x,A^{-1}x⟩|\\ & \le \Vert A{A}^{-1}x\Vert \Vert A^{-1}x\Vert \\ \Vert A^{-1}x\Vert & \le \frac{1}{C}\Vert A{A}^{-1}x\Vert \\ & =\frac{1}{C}\Vert x\Vert \\ \Vert A^{-1}\Vert & =\sup \frac{\Vert A^{-1}x\Vert }{\Vert x\Vert }\\ & \le \frac{1}{C}\end{array}$$