习题 4.23

设 $X,Y$ 为赋范空间, $T\in B(X,Y),x_n,x\in X,x_n{\to }_x$. 求证: $T{x}_n\to Tx$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明
因为 $T\in B(X,Y)$，所以 $T$ 是有界线性算子，存在常数 $M\ge 0$ 使得对任意 $u\in X$ 有

$$\Vert Tu{\Vert }_Y\le M\Vert u{\Vert }_X.$$

已知 $x_n\to x$，即 $\Vert x_n-x{\Vert }_X\to 0$ $(n\to \infty )$。
由 $T$ 的线性性，

$$T{x}_n-Tx=T(x_n-x),$$

从而

$$\Vert T{x}_n-Tx{\Vert }_Y=\Vert T(x_n-x){\Vert }_Y\le M\Vert x_n-x{\Vert }_X\to 0(n\to \infty ).$$

因此 $T{x}_n\to Tx$ 在 $Y$ 中。
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