习题 4.22

设 $x_n,x\in C[0,1],x_n{\to }_x$. 求证: $\left\{x_n\right\}$ 点点收敛到 $x$, 即任取 $t\in [0,1]$, 有 $x_n(t)\to x(t)$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：对于任意固定的 $t\in [0,1]$，定义线性泛函 ${\delta }_t:C[0,1]\to \mathbb{R}$（或 $\mathbb{C}$）为 $${\delta }_t(f)=f(t).$$ 由于 $$|{\delta }_t(f)|=|f(t)|\le \Vert f{\Vert }_{\infty },$$ 因此 ${\delta }_t$ 是有界线性泛函，且 $\Vert {\delta }_t\Vert \le 1$；取常值函数 $1(s)\equiv 1$，则 ${\delta }_t(1)=1=\Vert 1{\Vert }_{\infty }$，故 $\Vert {\delta }_t\Vert =1$，从而 ${\delta }_t\in C[0,1{]}^{\ast }$。

已知 $x_n$ 弱收敛于 $x$，即对任意 $\phi \in C[0,1{]}^{\ast }$，有 $\phi (x_n)\to \phi (x)$。特别地，取 $\phi ={\delta }_t$，得到 $$x_n(t)={\delta }_t(x_n)⟶{\delta }_t(x)=x(t),n\to \infty .$$ 因此，对每个 $t\in [0,1]$，$x_n(t)\to x(t)$，即 $\{x_n\}$ 点点收敛到 $x$。