习题 4.21

设 $X$ 为赋范空间, $x_n,x\in X,x_n-x$. 求证: 存在 $y_n$ 为 $x_1,x_2,\cdots$ 的线性组合, 使得 $y_n\to x$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：设 $X$ 是赋范空间，$\{x_n\}\subset X$ 满足 $x_n\rightharpoonup x$（即对任意 $f\in X^{\ast }$ 有 $f(x_n)\to f(x)$）。要证存在 $x_1,x_2,\dots$ 的有限线性组合（事实上可取为凸组合）$\{y_n\}$ 使得 $y_n\to x$（依范数收敛）。

记 $C=\mathrm{conv}\{x_n:n\in \mathbb{N}\}$ 为序列的凸包，$\overline{C}$ 为其范数闭包。下证 $x\in \overline{C}$。

若不然，$x\notin \overline{C}$。由于 $\overline{C}$ 是闭凸集，根据 Hahn-Banach 严格分离定理，存在连续线性泛函 $f\in X^{\ast }$ 和实数 $\alpha$ 使得 $$f(x)>\alpha ,f(y)<\alpha \forall y\in \overline{C}.$$ 特别地，对每个 $n$ 有 $f(x_n)<\alpha$。但由弱收敛性知 $f(x_n)\to f(x)$，从而 $$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)\le \alpha ,$$ 这与 $f(x)>\alpha$ 矛盾。故 $x\in \overline{C}$。

由闭包的定义，存在序列 $\{y_n\}\subset C$ 满足 $\Vert y_n-x\Vert \to 0$。而 $C$ 中的元素都是有限个 $x_k$ 的凸组合，即对每个 $n$ 存在正整数 $m_n$ 和非负系数 ${\lambda }_1^{(n)},\dots ,{\lambda }_{m_n}^{(n)}$ 满足 ${\sum }_{k=1}^{m_n}{\lambda }_k^{(n)}=1$，使得 $$y_n=\sum _{k=1}^{m_n}{\lambda }_k^{(n)}{x}_k.$$ 这就得到了所需的线性组合序列 $\{y_n\}$，且其强收敛于 $x$。∎