习题 4.20

设 $X$ 为赋范空间, $x_n,x\in X,x_n\to x$. 求证 $:x\in \overline{\mathrm{span}\left\{x_n:n\ge 1\right\}}$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：令 $M=\mathrm{span}\{x_n:n\ge 1\}$，其闭包记为 $\overline{M}$。由于每个 $x_n$ 都是集合 $\{x_n:n\ge 1\}$ 中的元素，显然 $x_n\in M$。已知 $x_n\to x$，即对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$ 使得当 $n\ge N$ 时 $\Vert x_n-x\Vert <\epsilon$。特别地，取 $n=N$，则有 $x_N\in M$ 且 $\Vert x_N-x\Vert <\epsilon$。这表明 $x$ 可以被 $M$ 中的点任意逼近，因此 $x$ 属于 $M$ 的闭包，即 $x\in \overline{M}$。故 $$x\in \overline{\mathrm{span}\{x_n:n\ge 1\}}.$$