习题 19

设 $X$ 为 Banach 空间，$Y$ 为赋范空间，$T_n\in B(X,Y)$ 为一列有界线性算子。证明下述命题相互等价：

1. 存在 $C\ge 0,\Vert T_n\Vert \le C$
2. 任取 $x\in X,\{T_{n}x\}$ 为 $Y$ 中的有界列
3. 任取 $x\in X,f\in Y^{\prime },\{f(T_{n}x)\}$ 为纯量有界列

解答

1 $\Rightarrow$ 2

$\forall x\in X,\Vert T_{n}x\Vert \le \Vert T_n\Vert \Vert x\Vert \le C\Vert x\Vert$。

故 $\{T_{n}x\}$ 为有界列。

2 $\Rightarrow$ 3

$\forall f\in Y^{\prime },|f(T_{n}x)|\le \Vert f\Vert \Vert T_{n}x\Vert$

由 $\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert T_{n}x\Vert <\infty$，且 $f\in Y^{\prime }⟹\Vert f\Vert <\infty$，故 $\{f(T_{n}x)\}$ 为纯量有界列。

3 $\Rightarrow$ 1

考虑典范映射 $J:Y\to Y^{\prime \prime },y\mapsto g_y$，其中 $g_y(f)=f(y)$。则由 $\{f(T_{n}x)\}$为纯量有界列，有 $\{g_{T_{n}x}(f)\}$ 为纯量有界列。

$Y^{\prime \prime }$ 为 Banach 空间，则由一致有界性原理，$\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert g_{T_{n}x}\Vert <\infty$。

由典范映射的性质，$\Vert g_{T_{n}x}\Vert =\Vert T_{n}x\Vert$，则 $\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert T_{n}x\Vert <\infty$。

$Y^{\prime }$ 仍为 Banach 空间，故由一致有界性原理，$\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert T_n\Vert <\infty$。

从而存在 $C\ge 0,\Vert T_n\Vert \le C$。