习题 4

设 $X$ 为赋范空间，$M$ 为 $X$ 的线性子空间，$x_0\in X$。求证：$x_0\in \overline{M}$ 当且仅当任取 $f\in X^{\prime },f{|}_M=0$ 时，$f(x_0)=0$。

解答

充分性

$x_0\in \overline{M}$，故 $\exists x_n\in M,x_n\to x_0$。

$f\in X^{\prime }$，则 $f$ 连续，故 $f(x_n)\to f(x_0)$。

$f{|}_M=0⟹f(x_n)=0⟹f(x_0)=\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=0$。

必要性

假设 $x_0\notin \overline{M}$，则 $\rho (x_0,M)>0$。

由 Hahn-Banach 定理，$\exists f\in X^{\prime },f{|}_M=0,f(x_0)=1,\Vert f\Vert =\rho (x_0,M)$。这与 $f(x_0)=0$ 矛盾。

构造这一泛函可见 $x_0$ is in the closure of $M$ iff there is no bounded linear functional on $X$