度量空间

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1. 度量空间的定义及例子

定义（度量）

设 $X$ 为集合，$d:X\times X\to \mathbb{R}$ 是映射。若满足以下四条公理：

1. 非负性：$\forall x,y\in X,d(x,y)\ge 0$；
2. 非退化性：$d(x,y)=0⟺x=y$；
3. 对称性：$\forall x,y\in X,d(x,y)=d(y,x)$；
4. 三角不等式：$\forall x,y,z\in X,d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$，

则称 $d$ 是 $X$ 上的一个度量（或距离），并称序对 $(X,d)$ 为度量空间。在不引起混淆时，也简称 $X$ 为度量空间。

若 $Y\subset X$，则 $d$ 限制在 $Y\times Y$ 上也是 $Y$ 上的度量，此时 $(Y,d{|}_{Y\times Y})$ 称为 $(X,d)$ 的子空间。

常见例子

• 数集：$A\subset \mathbb{K}$，$d(x,y)=|x-y|$。
• ${\mathbb{K}}^n$ 上的 $p$-度量：对 $1\le p<\infty$，$d_p(\mathbf{x},\mathbf{y})={\left({\sum }_{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p\right)}^{1/p}$；$p=\infty$ 时，$d_{\infty }(\mathbf{x},\mathbf{y})={\max }_{1\le i\le n}|x_i-y_i|$。
• 连续函数空间：$C[a,b]$ 上定义 $d_{\infty }(f,g)={\max }_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|$。
• 离散度量空间：$d(x,y)=\{\begin{array}{ll}0,& x=y\\ 1,& x\ne y\end{array}$。
• 数列空间：
  • $s$：所有数列，$d(x,y)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|}$；
  • ${\ell }^{\infty }$：有界数列，$d_{\infty }(x,y)={\sup }_{n\ge 1}|x_n-y_n|$；
  • ${\ell }^p$（$1\le p<\infty$）：$p$-阶可和数列，$d_p(x,y)={\left({\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n-y_n{|}^p\right)}^{1/p}$。
• 乘积空间：$(X_1,d_1),(X_2,d_2)$ 的乘积 $X_1\times X_2$ 上可定义 $d_{\infty }((x_1,x_2),(y_1,y_2))=\max \{d_1(x_1,y_1),d_2(x_2,y_2)\}$。

Hölder 不等式和 Minkowski 不等式

定理 1.1 (Hölder 不等式) 设 $1<p,q<\infty$ 且 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，$x=\{x_n\}\in {\ell }^p$，$y=\{y_n\}\in {\ell }^q$，则 $\{x_n{y}_n\}\in {\ell }^1$ 且 $$\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{y}_n|\le {\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{n=1}^{\infty }|y_n{|}^q\right)}^{1/q}.$$ 当 $p=1,q=\infty$ 时也有类似不等式：若 $x\in {\ell }^1,y\in {\ell }^{\infty }$，则 $$\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{y}_n|\le \left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n|\right)\underset{n\ge 1}{\sup }|y_n|.$$

定理 1.2 (Minkowski 不等式) 设 $1\le p<\infty$，$x=\{x_n\},y=\{y_n\}\in {\ell }^p$，则 $${\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n+y_n{|}^p\right)}^{1/p}\le {\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^p\right)}^{1/p}+{\left(\sum _{n=1}^{\infty }|y_n{|}^p\right)}^{1/p}.$$ Minkowski 不等式保证了 $d_p$ 满足三角不等式，从而 $({\ell }^p,d_p)$ 是度量空间。

广义三角不等式

由度量公理可推出：$\forall x_1,x_2,\dots ,x_n\in X$， $$d(x_1,x_n)\le d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)+\cdots +d(x_{n-1},x_n).$$

2. 开集和闭集

设 $(X,d)$ 为度量空间。

球

• 开球：$B(x_0,r)=\{x\in X\mid d(x,x_0)<r\}$，其中 $x_0\in X$, $r>0$。
• 闭球：$\overline{B}(x_0,r)=\{x\in X\mid d(x,x_0)\le r\}$。
• 球面：$S(x_0,r)=\{x\in X\mid d(x,x_0)=r\}$。

内点、内部、开集

• 内点：$x_0\in U$ 称为 $U\subset X$ 的内点，若存在 $r>0$ 使得 $B(x_0,r)\subset U$。
• 内部：$U^{\circ }=\{x\in U\mid x\text{ 是 }U\text{ 的内点}\}$ 称为 $U$ 的内部。
• 开集：若 $U=U^{\circ }$，则称 $U$ 是开集。

开集的性质

1. $\varnothing$ 和 $X$ 是开集。
2. 任意多个开集的并是开集。
3. 有限多个开集的交是开集。

闭集

• 闭集：$F\subset X$ 称为闭集，如果其补集 $F^c=X\setminus F$ 是开集。

闭集的性质

1. $\varnothing$ 和 $X$ 是闭集。
2. 任意多个闭集的交是闭集。
3. 有限多个闭集的并是闭集。

聚点、导集、闭包

• 聚点：$x_0\in X$ 称为 $A\subset X$ 的聚点，如果 $\forall r>0$，有 $(B(x_0,r)\setminus \{x_0\})\cap A\ne \varnothing$。
• 导集：$A^{\prime }=\{x\in X\mid x\text{ 是 }A\text{ 的聚点}\}$ 称为 $A$ 的导集。
• 闭包：$\overline{A}=A\cup A^{\prime }$ 称为 $A$ 的闭包。

定理 2.1 设 $(X,d)$ 是度量空间，$M\subset X$，则

1. $x\in \overline{M}$ 当且仅当存在序列 $\{x_n\}\subset M$ 使得 $x_n\to x$。
2. $M$ 是闭集当且仅当 $M=\overline{M}$，也当且仅当对于任意收敛序列 $\{x_n\}\subset M$，若 $x_n\to x$，则 $x\in M$。
3. $\overline{M}$ 是包含 $M$ 的最小闭集。

连续映射

设 $(X_1,d_1),(X_2,d_2)$ 是度量空间，映射 $T:X_1\to X_2$。

• 连续映射：称 $T$ 在 $x_0\in X_1$ 处连续，若 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$，当 $d_1(x,x_0)<\delta$ 时，有 $d_2(T(x),T(x_0))<\epsilon$。若 $T$ 在 $X_1$ 上每一点都连续，则称 $T$ 是连续映射。

连续映射的等价刻画：

• $T$ 连续 $⟺$ 对于 $X_2$ 中任意开集 $U$，其原像 $T^{-1}(U)$ 是 $X_1$ 中的开集。
• $T$ 连续 $⟺$ 对于 $X_2$ 中任意闭集 $F$，其原像 $T^{-1}(F)$ 是 $X_1$ 中的闭集。

稠密与可分

• 稠密：$M\subset X$ 称为稠密的，如果 $\overline{M}=X$。等价地，$\forall x\in X,\forall \epsilon >0,\exists y\in M$ 使得 $d(x,y)<\epsilon$。
• 可分：$X$ 称为可分的，如果存在可数子集 $M\subset X$ 且在 $X$ 中稠密。

性质：若 $X$ 可分，则其任意子空间 $Y$（赋予子空间度量）也是可分的。

3. 收敛性、完备性及紧性

收敛序列

• 收敛：序列 $\{x_n\}\subset X$ 收敛于 $x\in X$，若 ${\lim }_{n\to \infty }d(x_n,x)=0$，记作 $x_n\to x$。

收敛与闭包的关系已在定理 2.1 中给出。

柯西列与完备性

• 柯西列：序列 $\{x_n\}\subset X$ 称为柯西列，如果 $\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}$，使得当 $m,n\ge N$ 时，有 $d(x_m,x_n)<\epsilon$。
• 完备：若 $X$ 中每个柯西列都收敛（收敛到 $X$ 中的点），则称 $(X,d)$ 是完备的度量空间。

定理 3.1 设 $(X,d)$ 是完备度量空间，$Y\subset X$，则

• 若 $(Y,d{|}_{Y\times Y})$ 完备，则 $Y$ 是 $X$ 中的闭集。
• 反之，若 $Y$ 是闭集，则 $(Y,d{|}_{Y\times Y})$ 完备。

等价度量

• 等价度量：设 $d_1$ 和 $d_2$ 是集合 $X$ 上的两个度量。如果存在常数 $c_1,c_2>0$ 使得 $$c_1{d}_1(x,y)\le d_2(x,y)\le c_2{d}_1(x,y),\forall x,y\in X,$$ 则称 $d_1$ 和 $d_2$ 是等价的。

等价度量产生相同的开集、闭集、收敛序列和连续映射。

紧性

• 紧度量空间：度量空间 $X$ 称为紧的，如果 $X$ 中任意序列都有收敛子列（子列收敛到 $X$ 中的点）。
• 紧集：$M\subset X$ 称为紧集，如果子空间 $(M,d{|}_{M\times M})$ 是紧的。
• 相对紧集：$M\subset X$ 称为相对紧的，如果 $\overline{M}$ 是紧集（等价地，$M$ 中任意序列都有在 $X$ 中收敛的子列）。

$\epsilon$-网与完全有界性

• $\epsilon$-网：设 $M\subset X$，$N\subset M$。若对任意 $x\in M$，存在 $y\in N$ 使得 $d(x,y)<\epsilon$，即 $M\subset {\bigcup }_{y\in N}B(y,\epsilon )$，则称 $N$ 是 $M$ 的一个 $\epsilon$-网。
• 完全有界集：$M\subset X$ 称为完全有界的，如果对任意 $\epsilon >0$，存在 $M$ 的有限 $\epsilon$-网。

完全有界集必是有界集。

定理 3.2（紧集的性质）设 $(X,d)$ 是度量空间。

1. 若 $M$ 是紧集，则 $M$ 是有界闭集。
2. 若 $X$ 是紧空间，则 $Y\subset X$ 是紧集当且仅当 $Y$ 是闭集。
3. $M$ 相对紧 $⟺$ $\overline{M}$ 紧。
4. $M$ 完全有界 $⟺$ $M$ 中任意序列都有柯西子列。
5. 若 $M$ 相对紧，则 $M$ 完全有界；反之，若 $X$ 完备且 $M$ 完全有界，则 $M$ 相对紧。
6. $M$ 是紧集当且仅当 $M$ 完备且完全有界。

最佳逼近元

• 最佳逼近元：设 $M\subset X$，$x_0\in X$。若存在 $y_0\in M$ 使得 $$d(x_0,y_0)=\rho (x_0,M):=\underset{y\in M}{\inf }d(x_0,y),$$ 则称 $y_0$ 为 $x_0$ 在 $M$ 中的最佳逼近元。

4. Banach 不动点定理及其应用

压缩映射

• 压缩映射：设 $(X,d)$ 是度量空间，映射 $T:X\to X$。若存在常数 $k$ 满足 $0\le k<1$，使得 $$d(T(x),T(y))\le kd(x,y),\forall x,y\in X,$$ 则称 $T$ 是（$X$ 上的）压缩映射，$k$ 称为压缩系数。

Banach 不动点定理（压缩映射原理）

定理 4.1 (Banach 不动点定理) 设 $(X,d)$ 是非空完备度量空间，$T:X\to X$ 是压缩映射，则 $T$ 在 $X$ 中存在唯一的不动点，即存在唯一的 $x_0\in X$ 使得 $T(x_0)=x_0$。而且，对任意初始点 $x\in X$，迭代序列 $\{T^n(x)\}$ 收敛到 $x_0$，其中 $T^n$ 表示 $T$ 的 $n$ 次复合。

定理 4.2 设 $(X,d)$ 是非空完备度量空间，$T:X\to X$。若存在正整数 $m\ge 1$ 使得 $T^m$ 是压缩映射，则 $T$ 有唯一的不动点。