度量空间

1. 度量空间的定义及例子

度量 d 为 $X\times X\to \mathbb{R}$ 的函数，满足：

1. 非负性 $\forall x,y\in X,d(x,y)\ge 0$
2. 非退化性 $\forall x,y\in X,d(x,y)=0⟺x=y$
3. 对称性 $\forall x,y\in X,d(x,y)=d(y,x)$
4. 三角不等式 $\forall x,y,z\in X,d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$

度量空间 $(X,d)$ 是一个集合 $X$ 和一个度量 $d$ 的序对

2. 开集和闭集

开球 $B(x_0,r)=\{x\in X\mid d(x,x_0)<r\}$

闭球 $\overline{B}(x_0,r)=\{x\in X\mid d(x,x_0)\le r\}$

球面 $S(x_0,r)=\{x\in X\mid d(x,x_0)=r\}$

内点 $x_0\in X$ 是开集 $U\subset X$ 的内点，如果存在 $r>0$ 使得 $B(x_0,r)\subset U$

内部 $U^{\circ }=\{x\in U\mid x\text{ 是 }U\text{ 的内点}\}$

开集 $U\subset X$ 是开集，如果 $U=U^{\circ }$

闭集 $F\subset X$ 是闭集，如果 $F^c=X\setminus F$ 是开集

开集的性质

1. $\varnothing ,X$ 是开集
2. 任意多个开集的并是开集
3. 有限多个开集的交是开集

闭集的性质

1. $\varnothing ,X$ 是闭集
2. 任意多个闭集的交是闭集
3. 有限多个闭集的并是闭集

聚点 $x_0\in X$ 是集合 $A\subset X$ 的聚点，如果 $\forall r>0,(B(x_0,r)\setminus x_0)\cap A\ne \varnothing$

导集 $A^{\prime }=\{x\in X\mid x\text{ 是 }A\text{ 的聚点}\}$

闭包 $\overline{A}=A\cup A^{\prime }$

$(X,d)$ 是度量空间，$M\subset X$，则 $\overline{M}$ 为闭集，且 $\overline{M}$ 是包含 $M$ 的最小闭集

$(X,d)$ 是度量空间，$M\subset X$，则 $M$ 是闭集 $⟺M=\overline{M}$

连续映射 $T:X_1\to X_2$ 是连续映射，如果 $\forall x_0\in X_1,\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in X_1,d_1(x,x_0)<\delta ⟹d_2(T(x),T(x_0))<\epsilon$

$(X_1,d),(X_2,d)$ 是度量空间，$T:X_1\to X_2$ 是连续映射 $⟺\forall U\subset X_2$ 是开集，$T^{-1}(U)$ 是开集

$(X_1,d),(X_2,d)$ 是度量空间，$T:X_1\to X_2$ 是连续映射 $⟺\forall F\subset X_2$ 是闭集，$T^{-1}(F)$ 是闭集

稠密 $M\subset X$ 是稠密的，如果 $\overline{M}=X$

可分 $X$ 是可分的，如果有至多可数的稠密子集

$(X,d)$ 是可分的，$Y\subset X$，则 $(Y,d\mid \_Y\times Y)$ 是可分的

3. 收敛性、完备性及紧性

收敛 $\{x_n\}$ 在 $X$ 中收敛，若 $\exists x\in X,\underset{n\to \infty }{\lim }d(x_n,x)=0$，记为 $x_n\to x$

$(X,d)$ 为度量空间，$M\subset X$，则

1. $x\in \overline{M}⟺\exists \{x_n\}\subset M,x_n\to x$
2. $M$ 是闭集 $⟺\forall \{x_n\}\subset M,x_n\to x⟹x\in M$

柯西列 $\{x_n\}$ 是柯西列，如果 $\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N},\forall m,n\ge N,d(x_m,x_n)<\epsilon$

完备 $X$ 是完备的，如果 $X$ 中的任意柯西列都收敛

$(X,d)$ 是完备的，$Y\subset X$，$(Y,d{\mid }_{Y\times Y})$ 是完备子空间，则 $Y$ 是闭集

$(X,d)$ 完备，$Y\subset X$，$Y$ 是闭集 $⟺(Y,d{\mid }_{Y\times Y})$ 完备

等价度量 $d_1,d_2$ 是等价度量，如果 $\exists c_1,c_2>0,\forall x,y\in X,c_1{d}_1(x,y)\le d_2(x,y)\le c_2{d}_1(x,y)$

紧度量空间 $X$ 是紧的，如果 $X$ 中的任意序列都有收敛子列

紧集 $M\subset X$ 是紧集，如果 $(M,d{\mid }_{M\times M})$ 是紧度量空间

相对紧集 $M\subset X$ 是相对紧集，如果 $\forall x_n\in M,\exists x_{n_k}\subset M,x_{n_k}\to x\in X$

$ϵ$-网 $N\subset M$ 是 $ϵ$-网，如果 $M\subset \bigcup _{x\in N}B(x,ϵ)$

完全有界集 $M\subset X$ 是完全有界集，如果 $\forall ϵ>0$，都有有限个 $ϵ$-网

度量空间中的紧集必为有界闭集

$(X,d)$ 为紧度量空间，则 $Y\subset X$ 是紧集 $⟺Y$ 是闭集

$(X,d),M\subset X$ 为相对紧集 $⟺\overline{M}$ 是紧集

$(X,d),M\subset X$ 为完全有界集 $⟺M$ 中的任意序列都有柯西子列

$(X,d),M\subset X$，

1. 若 $M$ 为相对紧集，则 $M$ 为完全有界集
2. 若 $(X,d)$ 完备，则 $M$ 为完全有界集 $⟺M$ 为相对紧集
3. $M$ 为紧集 $⟺M$ 完备且 $M$ 为完全有界集

最佳逼近元 $y_0$ 为 $x_0$ 在 $M$ 中的最佳逼近元，如果 $d(x_0,y_0)=\rho (x_0,M)=\underset{y\in M}{\inf }d(x_0,y)$

4. Banach 不动点定理及其应用

压缩映射 $T:X\to X$ 是压缩映射，如果 $\exists 0\le k<1,\forall x_1,x_2\in X,d(T(x_1),T(x_2))\le kd(x_1,x_2)$

Banach 不动点定理 $X$ 是完备度量空间，$T:X\to X$ 是压缩映射，则 $T$ 有唯一的不动点 $x_0$，且 $x_0=\underset{n\to \infty }{\lim }{T}^n(x)$，其中 $T^n(x)=T(T(\cdots T(x)))$

$(X,d)$ 是非空完备度量空间，$T:X\to X$ 是压缩映射，设存在 $m\ge 1$，使得 $T^m$ 为压缩映射，则 $T$ 有唯一的不动点