习题 4.3

设 $a_1,a_2\in \mathbb{R}$ 固定, 考虑 ${\mathbb{R}}^3$ 的线性子空间 $$Z=\left\{\left(x_1,x_2,x_3\right)\in {\mathbb{R}}^3:x_3=0\right\},$$ 及 $Z$ 上的线性泛函 $f\left(x_1,x_2,x_3\right)=a_1{x}_1+a_2{x}_2$. 求出所有 $f$ 到 ${\mathbb{R}}^3$ 上的线性延拓及相应线性泛函的范数, 其中 ${\mathbb{R}}^3$ 赋予范数 ${\Vert \left(x_1,x_2,x_3\right)\Vert }_2={\left({\left|x_1\right|}^2+{\left|x_2\right|}^2+{\left|x_3\right|}^2\right)}^{1/2}$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

解答

设 ${\mathbb{R}}^3$ 上赋予 Euclid 范数 $\Vert x{\Vert }_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$，则它是一个 Hilbert 空间，其内积为 $⟨x,y⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$。由 Riesz 表示定理，任意连续线性泛函 $F:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ 均存在唯一的 $y\in {\mathbb{R}}^3$ 使得 $F(x)=⟨x,y⟩$，且 $\Vert F\Vert =\Vert y{\Vert }_2$。

子空间 $Z=\{(x_1,x_2,0)\mid x_1,x_2\in \mathbb{R}\}$，其上的泛函 $f(x_1,x_2,0)=a_1{x}_1+a_2{x}_2$ 已给出。设 $F$ 为 $f$ 到 ${\mathbb{R}}^3$ 上的任一线性延拓，则存在 $y=(y_1,y_2,y_3)\in {\mathbb{R}}^3$ 使得
$$F(x_1,x_2,x_3)=y_1{x}_1+y_2{x}_2+y_3{x}_3.$$
限制在 $Z$ 上须满足
$$F(x_1,x_2,0)=y_1{x}_1+y_2{x}_2=a_1{x}_1+a_2{x}_2\forall x_1,x_2\in \mathbb{R}.$$
因此 $y_1=a_1$, $y_2=a_2$，而 $y_3$ 可取任意实数。记 $y_3=c\in \mathbb{R}$，则延拓后的泛函为
$${\tilde{f}}_c(x_1,x_2,x_3)=a_1{x}_1+a_2{x}_2+c{x}_3.$$

相应泛函的范数为
$$\Vert {\tilde{f}}_c\Vert =\Vert (a_1,a_2,c){\Vert }_2=\sqrt{a_1^2+a_2^2+c^2}.$$

因此，$f$ 到 ${\mathbb{R}}^3$ 上的所有线性延拓由参数 $c\in \mathbb{R}$ 给出，每个延拓的范数如上式。