习题 2

设 $X$ 为线性空间，$p:X\to \mathbb{R}$，使得任取 $x,y\in X,\lambda \in \mathbb{K}$，有 $p(x+y)\le p(x)+p(y),p(\lambda x)=|\lambda |p(x)$。求证：$p$ 为 $X$ 上的半范数。

解答

回顾半范数定义：$p:X\to \mathbb{R}$ 满足

1. $\forall x\in X,p(x)\ge 0$
2. $\forall x,y\in X,p(x+y)\le p(x)+p(y)$
3. $\forall x\in X,\forall \lambda \in \mathbb{K},p(\lambda x)=|\lambda |p(x)$

对比题设，只须证明 1 也成立

取 $\lambda =0$，易得 $p(0)=0$。再取 $y=-x$，则 $p(x+y)=p(0)\le p(x)+p(-x)$，因此任一对 $p(x),p(-x)$ 中至少有一个非负。

又 $p(-x)=|-1|p(x)=p(x)$，故 $p(x)=p(-x)\ge 0$，故 $p$ 为 $X$ 上的半范数。